ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 561 Атанасян — Подробные Ответы

Справедливо ли утверждение: а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

а) да; б) да; в) нет.

а) Коллинеарные векторы определяются как векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Если два вектора, например \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), коллинеарны некоторому ненулевому вектору \(\vec{v}\), это означает, что вектор \(\vec{a}\) лежит на прямой, параллельной прямой, содержащей вектор \(\vec{v}\), и вектор \(\vec{b}\) также лежит на прямой, параллельной прямой, содержащей вектор \(\vec{v}\). Известно, что две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, прямая, содержащая вектор \(\vec{a}\), параллельна прямой, содержащей вектор \(\vec{b}\). Поскольку векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат на параллельных прямых, они по определению являются коллинеарными между собой. Таким образом, утверждение о том, что два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой, является истинным.

б) Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и имеют одинаковое направление. Если два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены с ненулевым вектором \(\vec{v}\), это означает, что каждый из них коллинеарен вектору \(\vec{v}\) и направлен в ту же сторону, что и \(\vec{v}\). Из того, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны \(\vec{v}\), следует, что они коллинеарны между собой, как было показано в пункте а). Поскольку \(\vec{a}\) имеет то же направление, что и \(\vec{v}\), и \(\vec{b}\) имеет то же направление, что и \(\vec{v}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют одинаковое направление друг относительно друга. Таким образом, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются коллинеарными и направлены в одну сторону, что по определению означает, что они сонаправлены. Следовательно, утверждение о том, что два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены, является истинным.

в) Утверждение заключается в том, что два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены. Как было установлено в пункте а), два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, являются коллинеарными между собой. Однако коллинеарные векторы могут быть как сонаправленными, так и противоположно направленными. Например, если взять ненулевой вектор \(\vec{v}\), то вектор \(\vec{a} = 2\vec{v}\) коллинеарен \(\vec{v}\) и сонаправлен с ним, а вектор \(\vec{b} = -3\vec{v}\) коллинеарен \(\vec{v}\), но противоположно направлен ему. Оба вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны ненулевому вектору \(\vec{v}\). Однако векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются коллинеарными между собой, но противоположно направленными, так как \(\vec{b} = -\frac{3}{2}\vec{a}\), а коэффициент \(-3/2\) отрицателен. Таким образом, два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, не обязательно являются сонаправленными; они могут быть и противоположно направленными. Следовательно, утверждение о том, что два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены, является ложным.