Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 557 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\) и \(К\) — середины рёбер \(AC\), \(ВС\) и \(CD\) соответственно, \(АВ = 3\) см, \(ВС = 4\) см, \(BD = 5\) см. Найдите длины векторов: а) \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{BD}\), \(\vec{NM}\), \(\vec{BN}\), \(\vec{NK}\); б) \(\vec{CB}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{DB}\), \(\vec{NC}\), \(\vec{KN}\).
В тетраэдре \(ABCD\) дано, что \(M\), \(N\), \(K\) — середины рёбер \(AC\), \(BC\), \(CD\) соответственно. Известны длины рёбер: \(AB = 3\) см, \(BC = 4\) см, \(BD = 5\) см. Требуется найти длины векторов.
Решение:
а) Длины векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{BD}\), \(\vec{NM}\), \(\vec{BN}\), \(\vec{NK}\).
Длины векторов, совпадающих с рёбрами, равны длинам рёбер: \(|\vec{AB}| = AB = 3\) см, \(|\vec{BC}| = BC = 4\) см, \(|\vec{BD}| = BD = 5\) см.
Так как \(N\) — середина \(BC\) и \(M\) — середина \(AC\), отрезок \(NM\) является средней линией треугольника \(ABC\). Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, \(|\vec{NM}| = NM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5\) см.
Так как \(N\) — середина \(BC\), длина вектора \(\vec{BN}\) равна половине длины ребра \(BC\): \(|\vec{BN}| = BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.
Так как \(N\) — середина \(BC\) и \(K\) — середина \(CD\), отрезок \(NK\) является средней линией треугольника \(BCD\). Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, \(|\vec{NK}| = NK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\) см.
б) Длины векторов \(\vec{CB}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{DB}\), \(\vec{NC}\), \(\vec{KN}\).
Длины векторов, противоположных векторам рёбер, равны длинам соответствующих рёбер: \(|\vec{CB}| = CB = BC = 4\) см, \(|\vec{BA}| = BA = AB = 3\) см, \(|\vec{DB}| = DB = BD = 5\) см.
Так как \(N\) — середина \(BC\), длина вектора \(\vec{NC}\) равна половине длины ребра \(BC\): \(|\vec{NC}| = NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.
Так как \(K\) — середина \(CD\) и \(N\) — середина \(BC\), отрезок \(KN\) является средней линией треугольника \(BCD\). Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, \(|\vec{KN}| = KN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\) см.
Ответ: а) 3 см, 4 см, 5 см, 1.5 см, 2 см, 2.5 см; б) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2.5 см.
В данном тетраэдре \(ABCD\) заданы положения точек \(M\), \(N\) и \(K\) как середины рёбер \(AC\), \(BC\) и \(CD\) соответственно. Также известны длины некоторых рёбер тетраэдра: \(AB = 3\) см, \(BC = 4\) см, \(BD = 5\) см. Требуется определить длины заданных векторов.
Решение задачи состоит из двух частей, соответствующих пунктам а) и б).
а) Находим длины векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{BD}\), \(\vec{NM}\), \(\vec{BN}\), \(\vec{NK}\).
Длина вектора \(\vec{AB}\) равна длине ребра \(AB\), так как вектор совпадает с ребром по направлению и величине. Следовательно, \(|\vec{AB}| = AB = 3\) см.
Аналогично, длина вектора \(\vec{BC}\) равна длине ребра \(BC\): \(|\vec{BC}| = BC = 4\) см.
Длина вектора \(\vec{BD}\) равна длине ребра \(BD\): \(|\vec{BD}| = BD = 5\) см.
Вектор \(\vec{NM}\) соединяет середину ребра \(BC\) (точка \(N\)) и середину ребра \(AC\) (точка \(M\)). Отрезок \(NM\) является средней линией треугольника \(ABC\). По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Отрезок \(NM\) параллелен ребру \(AB\), поэтому его длина \(NM = \frac{1}{2}AB\). Подставляя известное значение \(AB = 3\) см, получаем \(|\vec{NM}| = NM = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5\) см.
Вектор \(\vec{BN}\) направлен из вершины \(B\) в середину ребра \(BC\) (точка \(N\)). Его длина равна половине длины ребра \(BC\). Подставляя известное значение \(BC = 4\) см, получаем \(|\vec{BN}| = BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.
Вектор \(\vec{NK}\) соединяет середину ребра \(BC\) (точка \(N\)) и середину ребра \(CD\) (точка \(K\)). Отрезок \(NK\) является средней линией треугольника \(BCD\). По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Отрезок \(NK\) параллелен ребру \(BD\), поэтому его длина \(NK = \frac{1}{2}BD\). Подставляя известное значение \(BD = 5\) см, получаем \(|\vec{NK}| = NK = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\) см.
б) Находим длины векторов \(\vec{CB}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{DB}\), \(\vec{NC}\), \(\vec{KN}\).
Вектор \(\vec{CB}\) является противоположным вектору \(\vec{BC}\). Длина противоположного вектора равна длине исходного вектора. Следовательно, \(|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = 4\) см.
Вектор \(\vec{BA}\) является противоположным вектору \(\vec{AB}\). Его длина равна длине вектора \(\vec{AB}\). Следовательно, \(|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 3\) см.
Вектор \(\vec{DB}\) является противоположным вектору \(\vec{BD}\). Его длина равна длине вектора \(\vec{BD}\). Следовательно, \(|\vec{DB}| = |\vec{BD}| = 5\) см.
Вектор \(\vec{NC}\) направлен из середины ребра \(BC\) (точка \(N\)) в вершину \(C\). Его длина равна половине длины ребра \(BC\). Подставляя известное значение \(BC = 4\) см, получаем \(|\vec{NC}| = NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.
Вектор \(\vec{KN}\) соединяет середину ребра \(CD\) (точка \(K\)) и середину ребра \(BC\) (точка \(N\)). Отрезок \(KN\) является средней линией треугольника \(BCD\). По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Отрезок \(KN\) параллелен ребру \(BD\), поэтому его длина \(KN = \frac{1}{2}BD\). Подставляя известное значение \(BD = 5\) см, получаем \(|\vec{KN}| = KN = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5\) см. Обратите внимание, что \(|\vec{KN}| = |\vec{NK}|\).
Таким образом, получены следующие длины векторов.
а) 3 см, 4 см, 5 см, 1.5 см, 2 см, 2.5 см.
б) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2.5 см.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.