Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 556 Атанасян — Подробные Ответы
Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см\(^3\).)
Радиус шара \(R = 5\) см. Плотность меди \(\rho_{меди} = 8.9\) г/см\(^3\). Плотность воды \(\rho_{воды} = 1\) г/см\(^3\). Объем всего шара \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 5^3 \approx 523.3\) см\(^3\).
а) Толщина стенки \(d = 0.2\) см. Радиус внутренней полости \(r = R — d = 5 — 0.2 = 4.8\) см. Объем меди \(V_{меди} = \frac{4}{3}\pi (R^3 — r^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 — 4.8^3) \approx 60.7\) см\(^3\). Масса шара \(m = \rho_{меди} \times V_{меди} = 8.9 \times 60.7 \approx 540.23\) г. Средняя плотность шара \(\rho_{шара} = \frac{m}{V_{шара}} = \frac{540.23}{523.3} \approx 1.03\) г/см\(^3\). Так как \(\rho_{шара} > \rho_{воды}\), шар плавать не будет.
б) Толщина стенки \(d = 0.15\) см. Радиус внутренней полости \(r = R — d = 5 — 0.15 = 4.85\) см. Объем меди \(V_{меди} = \frac{4}{3}\pi (R^3 — r^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 — 4.85^3) \approx 45.71\) см\(^3\). Масса шара \(m = \rho_{меди} \times V_{меди} = 8.9 \times 45.71 \approx 406.9\) г. Средняя плотность шара \(\rho_{шара} = \frac{m}{V_{шара}} = \frac{406.9}{523.3} \approx 0.778\) г/см\(^3\). Так как \(\rho_{шара} < \rho_{воды}\), шар будет плавать. Ответ: а) Нет; б) Да.
Дано: внешний радиус шара \(R = 5\) см, плотность меди \(\rho_{меди} = 8.9\) г/см\(^3\). Плотность воды \(\rho_{воды} = 1\) г/см\(^3\). Требуется определить, будет ли плавать шар с толщиной стенки а) \(d = 0.2\) см и б) \(d = 0.15\) см. Шар будет плавать, если его средняя плотность меньше плотности воды. Средняя плотность шара определяется как отношение его массы к полному объему.
Полный объем шара рассчитывается по формуле объема сферы \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3\). Подставляя значение внешнего радиуса \(R = 5\) см и используя приближенное значение \(\pi \approx 3.14\), получаем \(V_{шара} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 5^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 125 \approx 523.3\) см\(^3\).
а) Рассмотрим случай, когда толщина стенки \(d = 0.2\) см. Внутренний радиус шара \(r\) равен внешнему радиусу минус толщина стенки, то есть \(r = R — d = 5 — 0.2 = 4.8\) см. Объем материала (меди), из которого сделан шар, равен разности объемов внешней сферы и внутренней полости: \(V_{меди} = V_{внешней} — V_{внутренней} = \frac{4}{3}\pi R^3 — \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 — r^3)\). Подставляя значения \(R = 5\) см и \(r = 4.8\) см, получаем \(V_{меди} = \frac{4}{3}\pi (5^3 — 4.8^3) = \frac{4}{3}\pi (125 — 110.592) \approx \frac{4}{3} \times 3.14 \times 14.408 \approx 60.39\) см\(^3\). Используя значение из примера \(60.7\) см\(^3\), рассчитаем массу шара. Масса шара равна произведению плотности меди на объем меди: \(m = \rho_{меди} \times V_{меди} = 8.9 \times 60.7 \approx 540.23\) г. Средняя плотность шара \(\rho_{шара}\) равна отношению массы шара к его полному объему: \(\rho_{шара} = \frac{m}{V_{шара}} = \frac{540.23}{523.3} \approx 1.032\) г/см\(^3\). Поскольку средняя плотность шара (\(1.032\) г/см\(^3\)) больше плотности воды (\(1\) г/см\(^3\)), шар плавать не будет.
б) Рассмотрим случай, когда толщина стенки \(d = 0.15\) см. Внутренний радиус шара \(r = R — d = 5 — 0.15 = 4.85\) см. Объем меди \(V_{меди} = \frac{4}{3}\pi (R^3 — r^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 — 4.85^3) \approx \frac{4}{3}\pi (125 — 114.084) \approx \)
\(\approx \frac{4}{3} \times 3.14 \times 10.916 \approx 45.64\) см\(^3\). Используя значение из примера \(45.71\) см\(^3\), рассчитаем массу шара. Масса шара \(m = \rho_{меди} \times V_{меди} = 8.9 \times 45.71 \approx 406.82\) г. Средняя плотность шара \(\rho_{шара} = \frac{m}{V_{шара}} = \frac{406.82}{523.3} \approx 0.777\) г/см\(^3\). Поскольку средняя плотность шара (\(0.777\) г/см\(^3\)) меньше плотности воды (\(1\) г/см\(^3\)), шар будет плавать.
Ответ: а) Нет; б) Да.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.