ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 551 Атанасян — Подробные Ответы

В шар вписан конус, радиус основания которого равен \(r\), а высота равна \(Н\). Найдите площадь поверхности и объём шара.

Высота конуса равна \(H\), радиус основания конуса равен \(r\). Радиус шара, описанного около конуса, находится по формуле \(R_{\text{шара}} = \frac{l^2}{2H}\), где \(l\) — образующая конуса. Образующая конуса \(l\) может быть найдена по теореме Пифагора: \(l^2 = H^2 + r^2\). Следовательно, радиус шара равен \(R_{\text{шара}} = \frac{H^2 + r^2}{2H}\). Площадь поверхности шара находится по формуле \(S_{\text{шара}} = 4\pi R_{\text{шара}}^2\). Подставляя значение \(R_{\text{шара}}\), получаем \(S_{\text{шара}} = 4\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^2 = 4\pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{4H^2} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^2}{H^2}\). Объём шара находится по формуле \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{шара}}^3\). Подставляя значение \(R_{\text{шара}}\), получаем \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(H^2 + r^2)^3}{8H^3} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^3}{6H^3}\). Ответ: \(S_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^2}{H^2}\), \(V_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^3}{6H^3}\).

Пусть дан шар с центром в точке \(O\), в который вписан конус с радиусом основания \(r\) и высотой \(H\). Требуется найти площадь поверхности шара \(S_{\text{шара}}\) и объём шара \(V_{\text{шара}}\).

Обозначим высоту конуса как \(CH\), где \(C\) — вершина конуса, а \(H\) — центр основания. Тогда по условию \(CH = H\). Радиус основания конуса — это отрезок \(AH\) (или \(BH\)), где \(A\) и \(B\) — точки на окружности основания. По условию \(AH = r\). Радиус шара обозначим \(R_{\text{шара}}\). Поскольку шар описан около конуса, вершина конуса \(C\) и все точки окружности основания лежат на поверхности шара. Центр шара \(O\) лежит на оси конуса \(CH\). Расстояние от центра шара до любой точки на его поверхности равно радиусу шара, то есть \(OA = OB = OC = R_{\text{шара}}\).

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник \(ABC\). Основание этого треугольника \(AB\) является диаметром основания конуса, поэтому \(AB = 2 \cdot AH = 2r\). Боковые стороны \(AC\) и \(BC\) являются образующими конуса. Поскольку треугольник \(ABC\) является осевым сечением конуса, вписанного в шар, окружность, описанная около треугольника \(ABC\), является большим кругом шара, и радиус этой окружности равен радиусу шара \(R_{\text{шара}}\).

Найдем длину образующей \(AC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\), где \(CH\) — высота конуса и \(AH\) — радиус основания. По теореме Пифагора, квадрат образующей равен сумме квадратов высоты и радиуса основания: \(AC^2 = CH^2 + AH^2\). Подставляя известные значения, получаем \(AC^2 = H^2 + r^2\). Следовательно, длина образующей \(AC = \sqrt{H^2 + r^2}\). Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), \(BC = AC = \sqrt{H^2 + r^2}\).

Теперь найдем радиус шара \(R_{\text{шара}}\), который является радиусом окружности, описанной около треугольника \(ABC\). Радиус описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(a, b, c\) — длины сторон треугольника, а \(S\) — его площадь. В нашем случае стороны треугольника \(ABC\) имеют длины \(a = AB = 2r\), \(b = AC = \sqrt{H^2 + r^2}\), и \(c = BC = \sqrt{H^2 + r^2}\). Площадь треугольника \(ABC\) можно найти как половину произведения основания на высоту: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\). Подставляя значения \(AB = 2r\) и \(CH = H\), получаем \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H = rH\).

Теперь подставим длины сторон и площадь в формулу для радиуса описанной окружности: \(R_{\text{шара}} = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S_{ABC}} = \frac{(2r) \cdot (\sqrt{H^2 + r^2}) \cdot (\sqrt{H^2 + r^2})}{4(rH)}\). Упростим это выражение: \(R_{\text{шара}} = \frac{2r (H^2 + r^2)}{4rH}\). Сокращая \(2r\) в числителе и знаменателе, получаем \(R_{\text{шара}} = \frac{H^2 + r^2}{2H}\).

Теперь, зная радиус шара \(R_{\text{шара}}\), можем найти площадь его поверхности. Площадь поверхности шара находится по формуле \(S_{\text{шара}} = 4\pi R_{\text{шара}}^2\). Подставим найденное значение \(R_{\text{шара}}\): \(S_{\text{шара}} = 4\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^2\). Возведем дробь в квадрат: \(S_{\text{шара}} = 4\pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{(2H)^2} = 4\pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{4H^2}\). Сокращая \(4\) в числителе и знаменателе, получаем формулу для площади поверхности шара: \(S_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^2}{H^2}\).

Далее найдем объём шара. Объём шара находится по формуле \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R_{\text{шара}}^3\). Подставим найденное значение \(R_{\text{шара}}\): \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^3\). Возведем дробь в куб: \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \frac{(H^2 + r^2)^3}{(2H)^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{(H^2 + r^2)^3}{8H^3}\). Перемножим коэффициенты: \(V_{\text{шара}} = \frac{4\pi (H^2 + r^2)^3}{3 \cdot 8H^3} = \frac{4\pi (H^2 + r^2)^3}{24H^3}\). Сокращая \(4\) в числителе и знаменателе, получаем формулу для объёма шара: \(V_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^3}{6H^3}\).

Таким образом, площадь поверхности шара равна \(S_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^2}{H^2}\), а объём шара равен \(V_{\text{шара}} = \frac{\pi (H^2 + r^2)^3}{6H^3}\).