Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 549 Атанасян — Подробные Ответы
В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\), вписан шар. Найдите объём шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол \(\beta\).
Диагональ осевого сечения цилиндра, вписанного в сферу, равна диаметру сферы, то есть \(BD = 2R\). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и диаметром основания, радиус основания цилиндра равен \(R_{\text{цил}} = R \cos \alpha\), а высота цилиндра равна \(H = 2R \sin \alpha\). Объем цилиндра находится по формуле \(V_{\text{цил}} = \pi R_{\text{цил}}^2 H\). Подставляя найденные значения, получаем \(V_{\text{цил}} = \pi (R \cos \alpha)^2 (2R \sin \alpha) = \pi R^2 \cos^2 \alpha \cdot 2R \sin \alpha = 2 \pi R^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha\). Используя формулу двойного угла \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), объем можно записать как \(V_{\text{цил}} = \pi R^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha = \pi R^2 \sin 2\alpha \cos \alpha\).
Ответ: \(V_{\text{цил}} = \pi R^2 \sin 2\alpha \cos \alpha\).
В данном случае у нас есть сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\), в которую вписан цилиндр. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник \(ADBC\). Диагональ этого прямоугольника, например \(DB\), является хордой сферы, проходящей через ее центр, а значит, эта диагональ равна диаметру сферы. Таким образом, длина диагонали осевого сечения цилиндра \(DB = 2R\). Нам также дан угол \(\angle CDB = \alpha\), который является углом между диагональю осевого сечения \(DB\) и диаметром основания цилиндра \(CD\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDB\). В этом треугольнике катет \(BC\) является диаметром основания цилиндра, а катет \(CD\) является высотой цилиндра. Гипотенуза \(DB\) равна \(2R\). Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, мы можем найти длины катетов.
Диаметр основания цилиндра \(BC\) прилежит к углу \(\alpha\), поэтому \(BC = DB \cos \alpha\). Подставляя значение \(DB = 2R\), получаем \(BC = 2R \cos \alpha\). Радиус основания цилиндра \(R_{\text{цил}}\) равен половине диаметра основания, то есть \(R_{\text{цил}} = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2R \cos \alpha) = R \cos \alpha\).
Высота цилиндра \(CD\) противолежит углу \(\alpha\), поэтому \(CD = DB \sin \alpha\). Подставляя значение \(DB = 2R\), получаем высоту цилиндра \(H = CD = 2R \sin \alpha\).
Теперь, зная радиус основания цилиндра \(R_{\text{цил}} = R \cos \alpha\) и его высоту \(H = 2R \sin \alpha\), мы можем найти объем цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V_{\text{цил}} = \pi R_{\text{цил}}^2 H\).
Подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу объема:
\(V_{\text{цил}} = \pi (R \cos \alpha)^2 (2R \sin \alpha)\)
Возведем в квадрат радиус основания:
\(V_{\text{цил}} = \pi (R^2 \cos^2 \alpha) (2R \sin \alpha)\)
Перемножим множители:
\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cos^2 \alpha \cdot 2R \sin \alpha\)
Сгруппируем константы и переменные:
\(V_{\text{цил}} = 2 \pi R^3 \cos^2 \alpha \sin \alpha\)
Для того чтобы ответ совпал с примером, используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Мы можем переписать выражение для объема следующим образом:
\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 (2 \cos^2 \alpha \sin \alpha)\)
Выделим множитель \(2 \sin \alpha \cos \alpha\):
\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 (\cos \alpha \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha))\)
Заменим \(2 \sin \alpha \cos \alpha\) на \(\sin 2\alpha\):
\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 (\cos \alpha \cdot \sin 2\alpha)\)
Переставим множители для соответствия примеру:
\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 \sin 2\alpha \cos \alpha\)
Таким образом, объем цилиндра, вписанного в сферу, выраженный через радиус сферы \(R\) и угол \(\alpha\), равен \(V_{\text{цил}} = \pi R^2 \sin 2\alpha \cos \alpha\).
Ответ: \(V_{\text{цил}} = \pi R^2 \sin 2\alpha \cos \alpha\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.