ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 544 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.

Дано: Конус, \(R_{\text{осн}} = 6\) дм, \(R_{\text{сферы}} = 3\) дм. Найти: \(V_{\text{конуса}}\).

В прямоугольном треугольнике, связанном с осевым сечением конуса и вписанной сферой, тангенс угла между образующей и основанием равен отношению радиуса вписанной сферы к радиусу основания конуса: \(tg \alpha = \frac{R_{\text{сферы}}}{R_{\text{осн}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Тангенс половины угла при вершине конуса в осевом сечении равен тангенсу угла между образующей и основанием. Полный угол при вершине \(\beta = 2\alpha\). Тангенс этого угла равен отношению диаметра основания к высоте: \(tg \beta = tg (2\alpha) = \frac{2R_{\text{осн}}}{h}\).
Используя формулу тангенса двойного угла \(tg(2\alpha) = \frac{2 tg \alpha}{1 — tg^2 \alpha}\), получаем:
\(tg (2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 — (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\).
Следовательно, \(\frac{2R_{\text{осн}}}{h} = \frac{4}{3}\).
Выразим высоту \(h\): \(h = \frac{3 \cdot 2R_{\text{осн}}}{4} = \frac{6R_{\text{осн}}}{4} = \frac{3}{2} R_{\text{осн}}\).
Подставляя \(R_{\text{осн}} = 6\), получаем \(h = \frac{3}{2} \cdot 6 = 3 \cdot 3 = 9\) дм.

*Correction*: The image’s logic for the height calculation is different. Let’s follow the image’s steps precisely as requested, even if the initial geometric interpretation is unclear.

Из шага 2 примера решения: \(tg \angle OAB = \frac{R_{\text{сферы}}}{R_{\text{осн}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Из шага 3 примера решения: \(\frac{MB}{AB} = tg (2 \angle OAB)\), где \(MB\) — высота конуса \(h\), а \(AB\) — радиус основания \(R_{\text{осн}}\).
\(tg (2 \angle OAB) = \frac{2 tg \angle OAB}{1 — tg^2 \angle OAB} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 — (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\).
Следовательно, \(\frac{h}{R_{\text{осн}}} = \frac{4}{3}\).
Высота конуса \(h = \frac{4}{3} R_{\text{осн}} = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8\) дм.

Объем конуса \(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r = R_{\text{осн}}\).
\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \pi \cdot 8 = 96 \pi\) дм\({}^3\).

Ответ: \(V = 96 \pi\) дм\({}^3\).

Дано: Конус с радиусом основания \(R_{\text{осн}} = 6\) дм и вписанной сферой радиусом \(R_{\text{сферы}} = 3\) дм. Требуется найти объем конуса \(V_{\text{конуса}}\).

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник, и вписанную в него окружность, которая является большим кругом сферы. Пусть \(A\) — вершина конуса, \(M\) — центр основания, \(B\) — точка на окружности основания. \(AM\) — высота конуса, \(MB\) — радиус основания, \(AB\) — образующая. Центр вписанной сферы \(O\) лежит на высоте \(AM\).

Согласно второму шагу решения из примера, рассматривается прямоугольный треугольник \(AOB\), где \(tg \angle OAB = \frac{OB}{AB}\). В контексте вписанной сферы, \(OB\) является радиусом сферы \(R_{\text{сферы}}\), а \(AB\) является радиусом основания конуса \(R_{\text{осн}}\). Таким образом, \(tg \angle OAB = \frac{R_{\text{сферы}}}{R_{\text{осн}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Угол \(\angle OAB\) является половиной угла при вершине осевого сечения конуса.

Третий шаг решения указывает, что в треугольнике \(MAC\), \(AO\) является биссектрисой угла \(\angle BAM\). Это подтверждает, что \(\angle BAM\) — это угол при вершине осевого сечения, и \(\angle OAB\) — его половина. Из соотношения \(\frac{MB}{AB} = tg (2 \angle OAB)\) следует, что отношение высоты конуса \(MB\) к радиусу основания \(AB\) равно тангенсу удвоенного угла \(\angle OAB\). Здесь \(MB\) — высота \(h\), а \(AB\) — радиус основания \(R_{\text{осн}}\).
Используем формулу тангенса двойного угла: \(tg (2\alpha) = \frac{2 tg \alpha}{1 — tg^2 \alpha}\). Подставляя \(\alpha = \angle OAB\) и \(tg \angle OAB = \frac{1}{2}\), получаем:
\(tg (2 \angle OAB) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 — (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 — \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}\).
Следовательно, \(\frac{h}{R_{\text{осн}}} = \frac{4}{3}\).
Высота конуса \(h = \frac{4}{3} R_{\text{осн}}\). Подставим значение \(R_{\text{осн}} = 6\) дм:
\(h = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8\) дм.

Четвертый шаг — нахождение объема конуса. Объем конуса вычисляется по формуле \(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. У нас \(r = R_{\text{осн}} = 6\) дм и \(h = 8\) дм.
\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8\).
Сократим 3 и 36: \(V_{\text{конуса}} = \pi \cdot 12 \cdot 8 = 96 \pi\) дм\({}^3\).

Ответ: Объем конуса равен \(96 \pi\) дм\({}^3\).