1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 543 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

Краткий ответ:


Высота цилиндра равна диаметру вписанного шара, то есть \(h = 2R\), где \(R\) — радиус шара. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара, то есть \(R_{\text{цил}} = R\). Объем цилиндра равен \(V_{\text{цил}} = \pi R_{\text{цил}}^2 h = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3\). Объем шара равен \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3\). Отношение объемов цилиндра и шара равно \(\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{2\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

Подробный ответ:


В данном случае у нас есть цилиндр, в который вписан шар. Это означает, что шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности.

Первым шагом определим высоту цилиндра. Поскольку шар вписан в цилиндр и касается обоих оснований, высота цилиндра должна быть равна диаметру шара. Если радиус шара обозначим как \(R\), то диаметр шара равен \(2R\). Следовательно, высота цилиндра \(h\) равна \(2R\), то есть \(h = 2R\).

Далее определим радиус основания цилиндра. Поскольку шар вписан в цилиндр и касается его боковой поверхности, радиус основания цилиндра должен быть равен радиусу шара. Если радиус основания цилиндра обозначим как \(R_{\text{цил}}\), то \(R_{\text{цил}} = R\).

Теперь запишем формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V_{\text{цил}} = \pi R_{\text{цил}}^2 h\). Подставляя найденные значения радиуса основания и высоты цилиндра в терминах радиуса шара, получаем \(V_{\text{цил}} = \pi (R)^2 (2R) = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3\).

Затем запишем формулу для объема шара. Объем шара с радиусом \(R\) вычисляется по формуле \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Нам нужно найти отношение объема цилиндра к объему шара, то есть \(\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}}\). Подставим полученные выражения для объемов в это отношение: \(\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{2\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}\).

Теперь упростим это выражение. Мы можем сократить \(\pi R^3\) в числителе и знаменателе, так как \(R\) не равен нулю. Получаем \(\frac{2}{\frac{4}{3}}\).

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь. Таким образом, \(\frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4}\).

Выполним умножение: \(2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{4} = \frac{6}{4}\).

Наконец, упростим полученную дробь \(\frac{6}{4}\), разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2. Получаем \(\frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2}\).

Таким образом, отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара равно \(\frac{3}{2}\).


Исследовательские задачи
Общая оценка
3.5 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.