Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 542 Атанасян — Подробные Ответы
Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\phi\). В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол \(\theta\). Найдите объём конуса.
Радиус основания вписанного конуса \(r\) равен радиусу окружности, вписанной в ромб. Площадь ромба равна \(S = a^2 \sin \phi\). Также площадь ромба равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности: \(S = \frac{1}{2} (4a) r = 2ar\). Приравнивая площади, получаем \(a^2 \sin \phi = 2ar\), откуда \(r = \frac{a \sin \phi}{2}\). Высота конуса \(h\) связана с радиусом и углом \(\theta\) соотношением \(h = r \tan \theta\). Подставляя значение \(r\), получаем \(h = \frac{a \sin \phi}{2} \tan \theta\). Объем конуса находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставляем значения \(r\) и \(h\): \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sin \phi}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin \phi}{2} \tan \theta\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \sin^2 \phi}{4} \frac{a \sin \phi \tan \theta}{2} = \frac{\pi a^3 \sin^3 \phi \tan \theta}{24}\).
Ответ: \(V = \frac{a^3 \pi}{24} \sin^3 \phi \cdot \tan \theta\).
Дано: Конус вписан в пирамиду MABCD. MH — высота конуса и пирамиды. Основание пирамиды ABCD — ромб со стороной AB = \(a\) и углом \(\angle BAD = \phi\). Угол между образующей конуса MP и радиусом основания HP равен \(\angle MPH = \theta\). Найти: Объем конуса V.
Решение:
Первым шагом построим радиусы основания конуса HP перпендикулярно стороне AB и HT перпендикулярно стороне BC ромба. Поскольку MH является высотой пирамиды и конуса, MH перпендикулярно плоскости основания. По теореме о трех перпендикулярах, если HP перпендикулярно AB (проекция MP на плоскость основания), то и сама образующая MP перпендикулярна AB. Аналогично, MT перпендикулярно BC. Отрезки HP и HT являются радиусами окружности, вписанной в ромб, и равны радиусу основания конуса, обозначим его \(r\), то есть \(HP = HT = r\). Отрезки MP и MT являются образующими конуса, обозначим их \(l\), то есть \(MP = MT = l\).
Вторым шагом найдем радиус \(r\) основания конуса. Основание пирамиды — ромб ABCD. Площадь ромба \(S_{ABCD}\) может быть найдена как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами: \(S_{ABCD} = a^2 \sin \phi\). Также площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр ромба равен \(4a\), полупериметр равен \(2a\). Следовательно, \(S_{ABCD} = 2a \cdot r\). Приравнивая два выражения для площади ромба, получаем \(a^2 \sin \phi = 2ar\). Из этого уравнения выразим радиус \(r\): \(r = \frac{a^2 \sin \phi}{2a} = \frac{a \sin \phi}{2}\). Таким образом, радиус основания конуса \(HP = r = \frac{a \sin \phi}{2}\).
Третьим шагом найдем высоту конуса MH. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle MHP\). В этом треугольнике MH является катетом, противолежащим углу \(\theta\), а HP является катетом, прилежащим к углу \(\theta\). Тангенс угла \(\theta\) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему: \(\tan \theta = \frac{MH}{HP}\). Отсюда выразим высоту MH: \(MH = HP \tan \theta\). Подставим найденное значение радиуса \(HP = \frac{a \sin \phi}{2}\): \(MH = \frac{a \sin \phi}{2} \tan \theta\). Высота конуса \(h = MH\).
Четвертым шагом вычислим объем конуса. Объем конуса V находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставим в эту формулу найденные значения радиуса \(r = \frac{a \sin \phi}{2}\) и высоты \(h = \frac{a \sin \phi}{2} \tan \theta\): \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sin \phi}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin \phi}{2} \tan \theta\right)\). Возведем радиус в квадрат: \(r^2 = \left(\frac{a \sin \phi}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \sin^2 \phi}{4}\). Теперь подставим это обратно в формулу объема: \(V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \sin^2 \phi}{4} \frac{a \sin \phi \tan \theta}{2}\). Перемножим числители и знаменатели: \(V = \frac{\pi \cdot a^2 \sin^2 \phi \cdot a \sin \phi \tan \theta}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^{2+1} \sin^{2+1} \phi \tan \theta}{24} = \frac{\pi a^3 \sin^3 \phi \tan \theta}{24}\).
Таким образом, объем конуса равен \(V = \frac{a^3 \pi}{24} \sin^3 \phi \cdot \tan \theta\).
Ответ: \(V = \frac{a^3 \pi}{24} \sin^3 \phi \cdot \tan \theta\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.