Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 539 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что объёмы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
Дано: \(S_{бок1} = S_{бок2}\). Доказать: \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}\).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{бок} = 2\pi rh\). Из условия \(S_{бок1} = S_{бок2}\) следует \(2\pi r_1 h_1 = 2\pi r_2 h_2\), откуда \(\frac{r_1 h_1}{r_2 h_2} = 1\).
Объем цилиндра равен \(V = \pi r^2 h\). Отношение объемов равно \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2}\).
Преобразуем отношение объемов: \(\frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_1 h_1}{r_2 h_2}\).
Так как \(\frac{r_1 h_1}{r_2 h_2} = 1\), получаем \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot 1 = \frac{r_1}{r_2}\), что и требовалось доказать.
Дано: площади боковых поверхностей двух цилиндров равны, то есть \(S_{бок1} = S_{бок2}\).
Доказать: отношение объемов этих цилиндров равно отношению их радиусов, то есть \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}\).
Доказательство:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2\pi rh\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра.
Для первого цилиндра площадь боковой поверхности равна \(S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1\).
Для второго цилиндра площадь боковой поверхности равна \(S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2\).
2. Согласно условию задачи, \(S_{бок1} = S_{бок2}\). Подставляя формулы для площадей, получаем \(2\pi r_1 h_1 = 2\pi r_2 h_2\).
Разделив обе части уравнения на \(2\pi\), получаем \(r_1 h_1 = r_2 h_2\).
Из этого равенства следует, что \(\frac{r_1 h_1}{r_2 h_2} = 1\).
3. Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра.
Для первого цилиндра объем равен \(V_1 = \pi r_1^2 h_1\).
Для второго цилиндра объем равен \(V_2 = \pi r_2^2 h_2\).
4. Найдем отношение объемов первого и второго цилиндров:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}\).
5. Сократим \(\pi\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2}\).
6. Перепишем это выражение следующим образом, чтобы выделить отношение \(r_1 h_1\) к \(r_2 h_2\):
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_1 h_1}{r_2 h_2}\).
7. Из пункта 2 мы знаем, что \(\frac{r_1 h_1}{r_2 h_2} = 1\). Подставим это значение в выражение для отношения объемов:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot 1\).
8. Таким образом, получаем:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}\).
Это именно то, что требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.