Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 538 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите объём цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна \(S\), а площадь основания равна \(Q\); б) осевое сечение является квадратом, а высота равна \(h\); в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна \(S\).
а) Известно, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh = S\), а площадь основания равна \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = Q\). Из \(S_{\text{осн}} = Q\) находим \(r^2 = \frac{Q}{\pi}\). Из \(S_{\text{бок}} = S\) находим \(h = \frac{S}{2\pi r}\). Объем цилиндра равен \(V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{Q}{\pi} \cdot \frac{S}{2\pi r} = Q \cdot \frac{S}{2\pi r}\). Подставляя \(r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\), получаем \(V = Q \cdot \frac{S}{2\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{QS}{2\sqrt{\pi^2 \frac{Q}{\pi}}} = \frac{QS}{2\sqrt{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q^2}{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\).
б) Осевое сечение цилиндра является квадратом, значит диаметр основания равен высоте цилиндра, то есть \(2r = h\), откуда \(r = \frac{h}{2}\). Объем цилиндра равен \(V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \pi \frac{h^2}{4} h = \frac{\pi h^3}{4}\).
в) Осевое сечение цилиндра является квадратом, значит \(h = 2r\). Площадь полной поверхности цилиндра равна \(S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). Подставляя \(h = 2r\), получаем \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2\). Из \(S = 6\pi r^2\) находим \(r^2 = \frac{S}{6\pi}\), откуда \(r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}\). Тогда \(h = 2r = 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\). Объем цилиндра равен \(V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{S}{6\pi} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \sqrt{4 \cdot \frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \sqrt{\frac{2S}{3\pi}}\).
Для решения задачи необходимо использовать формулы для площади боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), площади основания цилиндра \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\) и объема цилиндра \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра.
а) Дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S\), то есть \(2\pi rh = S\), и площадь основания равна \(Q\), то есть \(\pi r^2 = Q\). Из уравнения для площади основания выразим радиус в квадрате: \(r^2 = \frac{Q}{\pi}\). Из уравнения для площади боковой поверхности выразим высоту: \(h = \frac{S}{2\pi r}\). Теперь подставим полученные выражения для \(r^2\) и \(h\) в формулу для объема цилиндра \(V = \pi r^2 h\). Получаем \(V = \pi \cdot \frac{Q}{\pi} \cdot \frac{S}{2\pi r} = Q \cdot \frac{S}{2\pi r}\). Чтобы исключить \(r\) из выражения для объема, воспользуемся соотношением \(r = \sqrt{r^2} = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\). Подставим это в формулу для объема: \(V = Q \cdot \frac{S}{2\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}}\). Упростим выражение: \(V = \frac{QS}{2\pi \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{\pi}}} = \frac{QS\sqrt{\pi}}{2\pi\sqrt{Q}} = \frac{QS}{2\sqrt{\pi}\sqrt{Q}} = \frac{S}{2} \frac{Q}{\sqrt{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q^2}{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\).
б) Дано, что осевое сечение цилиндра является квадратом, а высота цилиндра равна \(h\). Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диаметр основания \(2r\) и высота \(h\). Если это сечение является квадратом, то его стороны равны, то есть \(2r = h\). Отсюда выразим радиус основания через высоту: \(r = \frac{h}{2}\). Теперь подставим это значение радиуса в формулу для объема цилиндра \(V = \pi r^2 h\). Получаем \(V = \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \pi \frac{h^2}{4} h = \frac{\pi h^3}{4}\).
в) Дано, что осевое сечение цилиндра является квадратом, а площадь полной поверхности цилиндра равна \(S\). Поскольку осевое сечение является квадратом, высота цилиндра равна диаметру основания, то есть \(h = 2r\). Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле \(S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh\). Подставим в эту формулу \(h = 2r\): \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2\). Из этого уравнения выразим радиус в квадрате: \(r^2 = \frac{S}{6\pi}\). Тогда радиус равен \(r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}\), а высота равна \(h = 2r = 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\). Теперь подставим выражения для \(r^2\) и \(h\) в формулу для объема цилиндра \(V = \pi r^2 h\). Получаем \(V = \pi \cdot \frac{S}{6\pi} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\). Упростим выражение: \(V = \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{3} \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{6\pi}} = \frac{S\sqrt{S}}{3\sqrt{6\pi}}\). Также можно представить в виде \(V = \frac{S}{6} \cdot 2 \sqrt{\frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \sqrt{4 \cdot \frac{S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \sqrt{\frac{4S}{6\pi}} = \frac{S}{6} \sqrt{\frac{2S}{3\pi}}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.