ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 537 Атанасян — Подробные Ответы

В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Дано: усечённая пирамида \(ABCA_1B_1C_1\), сечение \(MNK\) проходит через середину высоты \(OH_1 = OH\), \(O \in MNK\), \(\frac{a}{b} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{5}{2}\). Найти: \(\frac{V_1}{V_2}\).
Решение:
Плоскость \(MNK\) является средним сечением усечённой пирамиды, так как проходит через середину высоты параллельно основаниям.
Сторона среднего сечения \(MK = \frac{AC + A_1C_1}{2}\). Пусть \(AC = a\) и \(A_1C_1 = b\). Тогда \(b = \frac{2}{5}a\).
\(MK = \frac{a + \frac{2}{5}a}{2} = \frac{\frac{7}{5}a}{2} = \frac{7}{10}a\).
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих сторон.
\(\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \left(\frac{A_1C_1}{AC}\right)^2 = \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0.16\).
\(\frac{S_{MNK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MK}{AC}\right)^2 = \left(\frac{\frac{7}{10}a}{a}\right)^2 = \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} = 0.49\).
Объём усечённой пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\).
Сечение \(MNK\) делит усечённую пирамиду на две меньшие усечённые пирамиды с высотой \(h\), равной половине высоты исходной пирамиды.
Объём верхней части \(V_1\) (основания \(A_1B_1C_1\) и \(MNK\)): \(V_1 = \frac{1}{3}h(S_{A_1B_1C_1} + S_{MNK} + \sqrt{S_{A_1B_1C_1} S_{MNK}})\).
Объём нижней части \(V_2\) (основания \(MNK\) и \(ABC\)): \(V_2 = \frac{1}{3}h(S_{MNK} + S_{ABC} + \sqrt{S_{MNK} S_{ABC}})\).
Отношение объёмов:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_{A_1B_1C_1} + S_{MNK} + \sqrt{S_{A_1B_1C_1} S_{MNK}}}{S_{MNK} + S_{ABC} + \sqrt{S_{MNK} S_{ABC}}}\)
Подставим \(S_{A_1B_1C_1} = 0.16 S_{ABC}\) и \(S_{MNK} = 0.49 S_{ABC}\):
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.16 S_{ABC} + 0.49 S_{ABC} + \sqrt{0.16 S_{ABC} \cdot 0.49 S_{ABC}}}{0.49 S_{ABC} + S_{ABC} + \sqrt{0.49 S_{ABC} \cdot S_{ABC}}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.16 + 0.49 + \sqrt{0.16 \cdot 0.49}}{0.49 + 1 + \sqrt{0.49 \cdot 1}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.65 + \sqrt{0.0784}}{1.49 + \sqrt{0.49}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.65 + 0.28}{1.49 + 0.7}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.93}{2.19} = \frac{93}{219} = \frac{31}{73}\)
Ответ: \(\frac{31}{73}\).

Дано: усечённая пирамида \(ABCA_1B_1C_1\), сечение \(MNK\) проходит через середину высоты \(OH_1 = OH\), \(O \in MNK\), отношение соответствующих сторон оснований \(\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{5}{2}\). Найти: отношение объёмов частей, на которые пирамида делится плоскостью \(MNK\), \(\frac{V_1}{V_2}\).

Решение:
Плоскость \(MNK\) проходит через середину высоты усечённой пирамиды и параллельна её основаниям. Это означает, что сечение \(MNK\) является средним сечением усечённой пирамиды. Среднее сечение усечённой пирамиды является многоугольником, подобным основаниям, а его стороны равны полусумме соответствующих сторон оснований.
Пусть \(AC = a\) и \(A_1C_1 = b\). По условию, \(\frac{a}{b} = \frac{5}{2}\), откуда \(b = \frac{2}{5}a\).
Сторона среднего сечения \(MK\) соответствует стороне \(AC\) и \(A_1C_1\). Поскольку \(MNK\) — среднее сечение, \(MK\) является средней линией соответствующей боковой грани или трапеции, образованной высотами и сторонами оснований. Таким образом, \(MK = \frac{AC + A_1C_1}{2}\).
Подставляя значения \(AC = a\) и \(A_1C_1 = \frac{2}{5}a\), получаем \(MK = \frac{a + \frac{2}{5}a}{2} = \frac{\frac{5a + 2a}{5}}{2} = \frac{\frac{7a}{5}}{2} = \frac{7a}{10}\).
Отношение стороны среднего сечения к стороне большего основания равно \(\frac{MK}{AC} = \frac{\frac{7a}{10}}{a} = \frac{7}{10}\).
Отношение стороны меньшего основания к стороне большего основания равно \(\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{b}{a} = \frac{2}{5}\).

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон.
Отношение площади меньшего основания к площади большего основания: \(\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \left(\frac{A_1C_1}{AC}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0.16\).
Отношение площади среднего сечения к площади большего основания: \(\frac{S_{MNK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MK}{AC}\right)^2 = \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} = 0.49\).

Плоскость \(MNK\) делит исходную усечённую пирамиду на две меньшие усечённые пирамиды. Высота каждой из этих меньших пирамид равна половине высоты исходной усечённой пирамиды. Пусть высота исходной пирамиды равна \(H\), тогда высота каждой из меньших пирамид равна \(h = \frac{H}{2}\).
Объём усечённой пирамиды с высотой \(h\) и площадями оснований \(S_1\) и \(S_2\) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\).

Верхняя часть (пирамида с основаниями \(A_1B_1C_1\) и \(MNK\)) имеет объём \(V_1 = \frac{1}{3}h(S_{A_1B_1C_1} + S_{MNK} + \sqrt{S_{A_1B_1C_1} S_{MNK}})\).
Нижняя часть (пирамида с основаниями \(MNK\) и \(ABC\)) имеет объём \(V_2 = \frac{1}{3}h(S_{MNK} + S_{ABC} + \sqrt{S_{MNK} S_{ABC}})\).

Найдём отношение объёмов \(\frac{V_1}{V_2}\):
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}h(S_{A_1B_1C_1} + S_{MNK} + \sqrt{S_{A_1B_1C_1} S_{MNK}})}{\frac{1}{3}h(S_{MNK} + S_{ABC} + \sqrt{S_{MNK} S_{ABC}})}\)
Сокращая \(\frac{1}{3}h\), получаем:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_{A_1B_1C_1} + S_{MNK} + \sqrt{S_{A_1B_1C_1} S_{MNK}}}{S_{MNK} + S_{ABC} + \sqrt{S_{MNK} S_{ABC}}}\)
Выразим площади \(S_{A_1B_1C_1}\) и \(S_{MNK}\) через \(S_{ABC}\): \(S_{A_1B_1C_1} = 0.16 S_{ABC}\) и \(S_{MNK} = 0.49 S_{ABC}\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.16 S_{ABC} + 0.49 S_{ABC} + \sqrt{0.16 S_{ABC} \cdot 0.49 S_{ABC}}}{0.49 S_{ABC} + S_{ABC} + \sqrt{0.49 S_{ABC} \cdot S_{ABC}}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{(0.16 + 0.49)S_{ABC} + \sqrt{0.16 \cdot 0.49 \cdot S_{ABC}^2}}{(0.49 + 1)S_{ABC} + \sqrt{0.49 \cdot 1 \cdot S_{ABC}^2}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.65 S_{ABC} + \sqrt{0.0784} S_{ABC}}{1.49 S_{ABC} + \sqrt{0.49} S_{ABC}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.65 S_{ABC} + 0.28 S_{ABC}}{1.49 S_{ABC} + 0.7 S_{ABC}}\)
Вынося \(S_{ABC}\) за скобки в числителе и знаменателе и сокращая его:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{(0.65 + 0.28) S_{ABC}}{(1.49 + 0.7) S_{ABC}}\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{0.93}{2.19}\)
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{93}{219}\)
Сократим дробь, найдя наибольший общий делитель. Оба числа делятся на 3.
\(93 \div 3 = 31\)
\(219 \div 3 = 73\)
Таким образом, \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{31}{73}\).

Ответ: \(\frac{31}{73}\).