ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 529 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол \(\phi\), а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии \(m\) от неё.

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(a\). Высота основания \(BP = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Угол между боковой гранью и основанием \(\phi\). Расстояние от вершины до боковой грани \(m\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой основания, перпендикуляром из вершины к апофеме и отрезком апофемы, \(BP = \frac{m}{\sin \phi}\). Приравнивая выражения для \(BP\), получаем \(\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{m}{\sin \phi}\), откуда \(a = \frac{2m}{\sqrt{3} \sin \phi}\). Площадь основания \(S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{3 \sin^2 \phi}\). Радиус вписанной окружности основания \(OP = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{m}{3 \sin \phi}\). Высота пирамиды \(h = MO = OP \tan \phi = \frac{m}{3 \sin \phi} \tan \phi = \frac{m}{3 \cos \phi}\). Объем пирамиды \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{m^2 \sqrt{3}}{3 \sin^2 \phi} \cdot \frac{m}{3 \cos \phi} = \frac{m^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \phi \cos \phi}\).

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\).
Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \(\phi\). Пусть это будет угол между гранью \(MAC\) и основанием \(ABC\). Проведем апофему основания \(OD\) к стороне \(AC\), где \(D\) — середина \(AC\). \(OD\) — радиус вписанной окружности основания, \(OD = r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Высота пирамиды \(MO\) перпендикулярна основанию. Угол между боковой гранью \(MAC\) и основанием \(ABC\) — это угол между перпендикулярами к общей линии \(AC\) в этих плоскостях, то есть \(\angle MDO = \phi\).
В прямоугольном треугольнике \(MDO\), \(MO = OD \tan \phi = \frac{a}{2\sqrt{3}} \tan \phi\). Высота пирамиды \(h = MO = \frac{a \tan \phi}{2\sqrt{3}}\).

Расстояние от вершины основания, не лежащей в данной боковой грани (пусть это будет вершина \(B\)), до плоскости боковой грани \(MAC\) равно \(m\).
Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину \(B\) и перпендикулярную ребру \(AC\). Эта плоскость содержит высоту основания \(BD\) (где \(D\) — середина \(AC\)) и высоту пирамиды \(MO\).
Расстояние от точки \(B\) до плоскости \(MAC\) равно \(m\).
В треугольнике \(MBD\), проведем высоту \(BK\) к \(MD\). Тогда \(BK\) будет перпендикулярно плоскости \(MAC\), и \(BK = m\).
В прямоугольном треугольнике \(BDM\), угол \(\angle MDB = \phi\).
Высота основания \(BD = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
В прямоугольном треугольнике \(BDM\), \(BK\) — высота, опущенная на гипотенузу \(MD\).
Площадь треугольника \(BDM\) может быть выражена как \(\frac{1}{2} BD \cdot MO\) или \(\frac{1}{2} MD \cdot BK\).
\(MD\) — апофема боковой грани. В прямоугольном треугольнике \(MDO\), \(MD = \frac{OD}{\cos \phi} = \frac{a}{2\sqrt{3} \cos \phi}\).
Итак, \(\frac{1}{2} \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \tan \phi}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \frac{a}{2\sqrt{3} \cos \phi} \cdot m\).
\(\frac{a^2 \sqrt{3} \sin \phi}{8\sqrt{3} \cos \phi} = \frac{am}{4\sqrt{3} \cos \phi}\).
\(\frac{a^2 \sin \phi}{8} = \frac{am}{4\sqrt{3}}\).
Если \(a \neq 0\), то \(\frac{a \sin \phi}{8} = \frac{m}{4\sqrt{3}}\).
\(a = \frac{8m}{4\sqrt{3} \sin \phi} = \frac{2m}{\sqrt{3} \sin \phi}\).

Теперь найдем высоту пирамиды \(h\):
\(h = \frac{a \tan \phi}{2\sqrt{3}} = \frac{\frac{2m}{\sqrt{3} \sin \phi} \tan \phi}{2\sqrt{3}} = \frac{2m \sin \phi}{\sqrt{3} \sin \phi \cdot 2\sqrt{3} \cos \phi} = \frac{2m}{6 \cos \phi} = \frac{m}{3 \cos \phi}\).

Площадь основания \(S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{2m}{\sqrt{3} \sin \phi})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{4m^2}{3 \sin^2 \phi} \sqrt{3}}{4} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{3 \sin^2 \phi}\).

Объем пирамиды \(V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{m^2 \sqrt{3}}{3 \sin^2 \phi} \cdot \frac{m}{3 \cos \phi} = \frac{m^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \phi \cos \phi}\).

Ответ: \(V = \frac{m^3 \sqrt{3}}{27 \sin^2 \phi \cos \phi}\).