Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 528 Атанасян — Подробные Ответы
Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм\(^2\). Найдите объём призмы.
Пусть \(k\) — коэффициент пропорциональности, тогда площадь боковой поверхности \(S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 20k + 37k + 51k = 108k\). Из условия \(S_{бок} = 10.8\) дм², получаем \(108k = 10.8\), откуда \(k = 0.1\). Площади боковых граней равны \(S_1 = 20 \cdot 0.1 = 2\) дм², \(S_2 = 37 \cdot 0.1 = 3.7\) дм², \(S_3 = 51 \cdot 0.1 = 5.1\) дм². Пусть боковые грани пересечены плоскостью, перпендикулярной к ним, линии пересечения секущей плоскости с боковыми гранями будут высотами боковых граней. Обозначим сторону основания призмы, перпендикулярную секущей плоскости, как \(a = CC_1 = 0.5\) дм. Тогда высоты боковых граней равны \(h_1 = S_1 / a = 2 / 0.5 = 4\) дм, \(h_2 = S_2 / a = 3.7 / 0.5 = 7.4\) дм, \(h_3 = S_3 / a = 5.1 / 0.5 = 10.2\) дм. Полупериметр бокового сечения равен \(p = \frac{1}{2}(h_1 + h_2 + h_3) = \frac{1}{2}(4 + 7.4 + 10.2) = \frac{1}{2} \cdot 21.6 = 10.8\) дм. Площадь сечения по формуле Герона равна \(S = \sqrt{p(p-h_1)(p-h_2)(p-h_3)} = \sqrt{10.8(10.8-4)(10.8-7.4)\cdot}\)
\(\cdot\sqrt{(10.8-10.2)} = \sqrt{10.8 \cdot 6.8 \cdot 3.4 \cdot 0.6} = \sqrt{149.8176} = 12.24\) дм². Объем наклонной призмы равен произведению площади сечения на длину перпендикуляра к сечению, которая в данном случае равна \(CC_1\). Таким образом, \(V = S \cdot CC_1 = 12.24 \cdot 0.5 = 6.12\) дм³. Ответ: \(V = 6.12\) дм².
Дано: площади боковых граней пропорциональны числам 20, 37, 51, то есть \(S_1 = 20k\), \(S_2 = 37k\), \(S_3 = 51k\), где \(k\) — коэффициент пропорциональности. Длина отрезка \(CC_1 = 0.5\) дм. Площадь боковой поверхности призмы \(S_{бок} = 10.8\) дм². Найти: объем призмы \(V\).
Решение:
Первым шагом найдем коэффициент пропорциональности \(k\). Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: \(S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3\). Подставляя выражения для площадей через \(k\), получаем \(10.8 = 20k + 37k + 51k\). Суммируя слагаемые в правой части, имеем \(10.8 = (20 + 37 + 51)k = 108k\). Чтобы найти \(k\), разделим обе части уравнения на 108: \(k = \frac{10.8}{108} = 0.1\).
Теперь, зная коэффициент пропорциональности \(k\), мы можем найти фактические площади боковых граней. Площадь первой боковой грани равна \(S_1 = 20k = 20 \cdot 0.1 = 2\) дм². Площадь второй боковой грани равна \(S_2 = 37k = 37 \cdot 0.1 = 3.7\) дм². Площадь третьей боковой грани равна \(S_3 = 51k = 51 \cdot 0.1 = 5.1\) дм².
Далее рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым граням. Линии пересечения этой плоскости с боковыми гранями будут высотами этих граней, проведенными к стороне основания, перпендикулярной секущей плоскости. Пусть эта сторона основания имеет длину, равную \(CC_1 = 0.5\) дм. Площадь боковой грани также может быть выражена как произведение длины стороны основания, к которой проведена высота, на эту высоту. Таким образом, для каждой боковой грани \(S_i = h_i \cdot CC_1\), где \(h_i\) — высота \(i\)-й боковой грани, перпендикулярная \(CC_1\). Из этого соотношения мы можем найти высоты: \(h_1 = \frac{S_1}{CC_1} = \frac{2}{0.5} = 4\) дм, \(h_2 = \frac{S_2}{CC_1} = \frac{3.7}{0.5} = 7.4\) дм, \(h_3 = \frac{S_3}{CC_1} = \frac{5.1}{0.5} = 10.2\) дм. Эти высоты являются сторонами треугольного сечения, перпендикулярного боковым ребрам призмы.
Найдем полупериметр этого треугольного сечения. Полупериметр \(p\) равен половине суммы длин его сторон: \(p = \frac{1}{2}(h_1 + h_2 + h_3) = \frac{1}{2}(4 + 7.4 + 10.2) = \frac{1}{2}(21.6) = 10.8\) дм.
Теперь найдем площадь этого перпендикулярного сечения, используя формулу Герона. Площадь \(S\) треугольника со сторонами \(a, b, c\) и полупериметром \(p\) равна \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). В нашем случае стороны треугольника — это высоты \(h_1, h_2, h_3\). Подставляя значения, получаем \(S = \sqrt{10.8(10.8-4)(10.8-7.4)(10.8-10.2)} = \sqrt{10.8 \cdot 6.8 \cdot 3.4 \cdot 0.6}\). Вычисляя произведение под корнем, получаем \(S = \sqrt{149.8176}\). Извлекая квадратный корень, находим площадь сечения \(S = 12.24\) дм².
Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. В данном случае, длина бокового ребра, перпендикулярного сечению, равна \(CC_1\). Следовательно, объем призмы \(V = S \cdot CC_1 = 12.24 \cdot 0.5\). Вычисляя произведение, получаем \(V = 6.12\) дм³.
Ответ: Объем призмы равен \(6.12\) дм³.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.