Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 527 Атанасян — Подробные Ответы
На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка \(АА_1\), \(ВВ_1\) и \(СС_1\). Докажите, что объём призмы, боковыми рёбрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.
Длины отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) постоянны, так как лежат на параллельных прямых. Длины отрезков \(AB\), \(AC\), \(BC\) и \(A_1B_1\), \(A_1C_1\), \(C_1B_1\) постоянны, поскольку прямые \(a\), \(b\), \(c\) параллельны. Высота \(CH\) треугольника \(ABC\) к стороне \(AB\) постоянна, так как стороны треугольника постоянны. Объем призмы выражается формулой \(V = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 \cdot CH\). Поскольку \(AB\), \(AA_1\) и \(CH\) постоянны, то \(V\) также является постоянной величиной, что и требовалось доказать.
Дано: Призма \(ABCA_1B_1C_1\), боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) лежат на параллельных прямых \(a\), \(b\), \(c\) соответственно, причем \(a \parallel b \parallel c\), и длины этих рёбер равны \(AA_1 = BB_1 = CC_1\). Доказать: Объём призмы \(V\) является постоянной величиной, то есть \(V = const\).
Доказательство:
Длины отрезков, лежащих на параллельных прямых, не зависят от их конкретного положения на этих прямых, если эти отрезки образованы соответствующими точками оснований призмы, полученными параллельным переносом. Поскольку по условию задачи длины боковых рёбер \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) равны, и они лежат на параллельных прямых, их длины являются постоянными величинами. Таким образом, \(AA_1 = BB_1 = CC_1 = const\).
Прямые \(a\), \(b\), \(c\) параллельны. Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы, такие как \(AB\), \(AC\), \(BC\) в нижнем основании и \(A_1B_1\), \(A_1C_1\), \(C_1B_1\) в верхнем основании, имеют постоянные длины. Это связано с тем, что верхнее основание \(A_1B_1C_1\) получается из нижнего основания \(ABC\) параллельным переносом на вектор, равный любому из боковых рёбер. Следовательно, соответствующие стороны оснований равны и их длины постоянны. Таким образом, \(A_1B_1 = AB = A_1C_1 = AC = C_1B_1 = CB = const\).
Построим высоту \(CH\) в основании \(ABC\) из вершины \(C\) к стороне \(AB\). Поскольку, как было показано выше, длины сторон треугольника \(ABC\) (\(AB\), \(AC\), \(BC\)) являются постоянными величинами, то и длина высоты \(CH\), которая определяется сторонами этого треугольника, также является постоянной величиной. Таким образом, \(CH = const\).
Из доказанного в задаче 733 следует формула для объёма данной призмы: \(V = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 \cdot CH\). Мы установили, что длина стороны основания \(AB\) является постоянной величиной (\(AB = const\)), длина бокового ребра \(AA_1\) является постоянной величиной (\(AA_1 = const\)), и высота основания \(CH\) является постоянной величиной (\(CH = const\)). Подставляя эти постоянные значения в формулу объёма, получаем \(V = \frac{1}{2} \cdot const \cdot const \cdot const\). Произведение постоянных величин всегда является постоянной величиной. Следовательно, объём призмы \(V\) является постоянной величиной, то есть \(V = const\).
Это и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.