Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 526 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.
Объем треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) можно найти, достроив ее до параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Объем призмы составляет половину объема этого параллелепипеда, то есть \(V_{призмы} = \frac{1}{2} V_{параллелепипеда}\). Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Если в качестве основания взять боковую грань \(AA_1BB_1\), то площадь основания будет \(S_{AA_1BB_1}\). Высота параллелепипеда относительно этого основания — это перпендикулярное расстояние от ребра \(CC_1\) до плоскости грани \(AA_1BB_1\). Обозначим это расстояние через \(CH\), где \(CH \perp AA_1BB_1\). Тогда объем параллелепипеда равен \(V_{параллелепипеда} = S_{AA_1BB_1} \cdot CH\). Следовательно, объем треугольной призмы равен \(V_{призмы} = \frac{1}{2} S_{AA_1BB_1} \cdot CH\).
Дано: треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\).
Доказать: объем призмы \(V_{призмы}\) равен половине произведения площади боковой грани \(AA_1BB_1\) на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра \(CC_1\).
Решение:
Первым шагом в решении является построение высоты из вершины \(C\) на плоскость боковой грани \(AA_1BB_1\). Пусть \(CH\) — эта высота, где точка \(H\) лежит в плоскости \(AA_1BB_1\) и \(CH \perp AA_1BB_1\). Поскольку ребро \(CC_1\) параллельно плоскости \(AA_1BB_1\), расстояние от ребра \(CC_1\) до плоскости \(AA_1BB_1\) равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки ребра \(CC_1\) на эту плоскость. Таким образом, \(CH\) является этим расстоянием.
Далее, достроим данную треугольную призму \(ABCA_1B_1C_1\) до параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Это можно сделать, проведя через точку \(C\) прямую, параллельную \(AB\), и через точку \(A\) прямую, параллельную \(BC\), до их пересечения в точке \(D\), так что \(ABCD\) является параллелограммом. Затем построим соответствующие вершины \(D_1\) так, чтобы \(DD_1\) было параллельно и равно \(AA_1\). Полученный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) имеет ту же высоту, что и призма, относительно основания \(ABCD\).
Теперь найдем объем параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. В качестве основания можно взять боковую грань \(AA_1BB_1\). Высота параллелепипеда, соответствующая этому основанию, есть расстояние от любой точки противоположной грани \(DD_1C_1C\) до плоскости \(AA_1BB_1\). Это расстояние равно построенной нами высоте \(CH\). Следовательно, объем параллелепипеда \(V_{параллелепипеда}\) равен площади основания \(AA_1BB_1\) умноженной на высоту \(CH\), то есть \(V_{параллелепипеда} = S_{AA_1BB_1} \cdot CH\).
Треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\) составляет ровно половину объема построенного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Это связано с тем, что основание призмы \(ABC\) является треугольником, а основание параллелепипеда \(ABCD\) является параллелограммом, причем площадь треугольника \(ABC\) составляет половину площади параллелограмма \(ABCD\). Призма и параллелепипед имеют одинаковую высоту. Таким образом, объем призмы \(V_{призмы}\) равен половине объема параллелепипеда \(V_{параллелепипеда}\).
Подставляя выражение для объема параллелепипеда, получаем формулу для объема треугольной призмы: \(V_{призмы} = \frac{1}{2} V_{параллелепипеда} = \frac{1}{2} S_{AA_1BB_1} \cdot CH\).
Таким образом, объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра, что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.