ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 521 Атанасян — Подробные Ответы

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и \(3\sqrt{2}\) см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда.

В треугольнике \(ABD\) по теореме косинусов найдем \(BD\): \(BD^2 = AD^2 + AB^2 — 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos \angle DAB\). Подставляя значения, получаем \(BD^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 49 + 18 — 42 = 25\), откуда \(BD = \sqrt{25} = 5\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BB_1D\). Угол \(\angle BDB_1 = 45^\circ\), тогда \(\angle DB_1B = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Так как углы при основании \(BD\) равны, треугольник \(BB_1D\) равнобедренный, и \(BB_1 = BD = 5\) см.
Площадь основания параллелепипеда равна \(S_{осн} = AD \cdot AB \cdot \sin \angle DAB\). Подставляя значения, получаем \(S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 21\) см².
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V = S_{осн} \cdot BB_1 = 21 \cdot 5 = 105\) см³.
Ответ: \(V = 105\) см³.

Начнем с анализа данного нам параллелепипеда. Известны длины двух сторон основания \(AB = 3\sqrt{2}\) см и \(AD = 7\) см, а также угол между ними \(\angle DAB = 45^\circ\). Также дан угол \(\angle BDB_1 = 45^\circ\), где \(BB_1\) — боковое ребро, перпендикулярное основанию. Нам необходимо найти объем параллелепипеда \(V\).

Первым шагом найдем длину диагонали основания \(BD\) в треугольнике \(ABD\). Поскольку у нас есть две стороны и угол между ними, мы можем использовать теорему косинусов: \(BD^2 = AD^2 + AB^2 — 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos \angle DAB\). Подставляем известные значения: \(BD^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ\). Вычисляем квадраты сторон: \(7^2 = 49\) и \((3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\). Значение косинуса \(45^\circ\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Подставляем эти значения в формулу: \(BD^2 = 49 + 18 — 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\). Упрощаем выражение: \(BD^2 = 49 + 18 — 42\). Складываем и вычитаем: \(BD^2 = 67 — 42 = 25\). Чтобы найти \(BD\), извлекаем квадратный корень: \(BD = \sqrt{25} = 5\) см.

Вторым шагом рассмотрим треугольник \(BB_1D\). Поскольку \(BB_1\) является боковым ребром прямого параллелепипеда, оно перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а следовательно, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку \(B\). Таким образом, треугольник \(BB_1D\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\), то есть \(\angle B_1BD = 90^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике нам известен угол \(\angle BDB_1 = 45^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle BB_1D = 180^\circ — 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ\). Поскольку углы при основании \(BD\) в треугольнике \(BB_1D\) равны (\(\angle BDB_1 = \angle BB_1D = 45^\circ\)), этот треугольник является равнобедренным с основанием \(B_1D\). Следовательно, боковые стороны равны: \(BB_1 = BD\). Мы уже нашли, что \(BD = 5\) см, значит, высота параллелепипеда \(BB_1 = 5\) см.

Третьим шагом вычислим площадь основания параллелепипеда \(S_{осн}\). Основанием является параллелограмм \(ABCD\). Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \(S_{осн} = AD \cdot AB \cdot \sin \angle DAB\). Подставляем известные значения: \(S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ\). Значение синуса \(45^\circ\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Подставляем это значение: \(S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\). Упрощаем выражение: \(S_{осн} = 7 \cdot 3 = 21\) см².

Четвертым шагом найдем объем параллелепипеда \(V\). Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V = S_{осн} \cdot BB_1\). Мы нашли площадь основания \(S_{осн} = 21\) см² и высоту \(BB_1 = 5\) см. Подставляем эти значения: \(V = 21 \cdot 5\). Выполняем умножение: \(V = 105\) см³.

Таким образом, объем параллелепипеда составляет \(105\) см³.

Ответ: \(V = 105\) см³.