Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 511 Атанасян — Подробные Ответы
Диаметр шара разделён на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объём получившегося шарового слоя, если радиус шара равен \(R\).
Высота каждого из двух крайних сегментов равна \(h = \frac{2}{3}R\).
Суммарный объем крайних сегментов равен \(V_{сег} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi h^2 (3R — h) = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi (\frac{2}{3}R)^2 (3R — \frac{2}{3}R) = \frac{56}{81}\pi R^3\).
Объем шара равен \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Объем шарового слоя равен \(V_{слоя} = V_{шара} — V_{сег} = \frac{4}{3}\pi R^3 — \frac{56}{81}\pi R^3 = \frac{108}{81}\pi R^3 — \frac{56}{81}\pi R^3 = \frac{52}{81}\pi R^3\).
Ответ: \(V_{слоя} = \frac{52}{81}\pi R^3\) см³.
Диаметр шара, равный \(2R\), разделен на три равные части плоскостями, перпендикулярными диаметру. Это означает, что каждая из трех частей диаметра имеет длину \(\frac{2R}{3}\). Шаровой слой образуется между двумя внутренними плоскостями, а два шаровых сегмента отсекаются внешними плоскостями. Высота каждого из этих двух крайних шаровых сегментов равна длине одной из крайних частей диаметра, то есть \(h = \frac{2R}{3}\).
Объем шарового сегмента высотой \(h\) и радиусом шара \(R\) определяется формулой \(V_{сегмент} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R — h)\). Поскольку у нас два одинаковых крайних сегмента, их суммарный объем будет в два раза больше объема одного сегмента. Подставим значение высоты \(h = \frac{2R}{3}\) в формулу для объема одного сегмента:
\(V_{сегмент} = \frac{1}{3}\pi (\frac{2R}{3})^2 (3R — \frac{2R}{3}) = \frac{1}{3}\pi \frac{4R^2}{9} (\frac{9R — 2R}{3}) = \frac{1}{3}\pi \frac{4R^2}{9} \frac{7R}{3} = \frac{28}{81}\pi R^3\).
Суммарный объем двух крайних сегментов равен \(V_{крайних\ сегментов} = 2 \cdot V_{сегмент} = 2 \cdot \frac{28}{81}\pi R^3 = \frac{56}{81}\pi R^3\).
Объем всего шара радиусом \(R\) определяется формулой \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Шаровой слой, получившийся в результате деления диаметра на три равные части, представляет собой часть шара между двумя крайними сегментами. Следовательно, объем шарового слоя можно найти как разность между объемом всего шара и суммарным объемом двух крайних сегментов.
\(V_{слоя} = V_{шара} — V_{крайних\ сегментов} = \frac{4}{3}\pi R^3 — \frac{56}{81}\pi R^3\).
Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю 81:
\(\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 27}\pi R^3 = \frac{108}{81}\pi R^3\).
Теперь вычтем:
\(V_{слоя} = \frac{108}{81}\pi R^3 — \frac{56}{81}\pi R^3 = \frac{108 — 56}{81}\pi R^3 = \frac{52}{81}\pi R^3\).
Таким образом, объем получившегося шарового слоя равен \(\frac{52}{81}\pi R^3\).
Ответ: Объем шарового слоя равен \(\frac{52}{81}\pi R^3\) см³.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.