Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 509 Атанасян — Подробные Ответы
Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму одного шара?
Четырехугольник \(O_1AO_2B\) является ромбом со стороной \(R\), откуда следует, что \(AB \perp O_1O_2\) и \(O_1C = CO_2 = R/2\). Общая часть шаров представляет собой два одинаковых шаровых сегмента высотой \(h = R/2\). Объем одного шарового сегмента равен \(V_{сегмента} = \pi h^2 (R — \frac{1}{3}h)\). Подставляя значение \(h\), получаем \(V_{сегмента} = \pi (\frac{R}{2})^2 (R — \frac{1}{3}\frac{R}{2}) = \pi \frac{R^2}{4} (R — \frac{R}{6}) = \pi \frac{R^2}{4} \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}\). Общий объем двух сегментов равен \(V_{общ} = 2 \cdot V_{сегмента} = 2 \cdot \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{5\pi R^3}{12}\). Объем одного шара равен \(V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3\). Отношение общего объема к объему одного шара составляет \(\frac{V_{общ}}{V_1} = \frac{5\pi R^3 / 12}{4\pi R^3 / 3} = \frac{5\pi R^3}{12} \cdot \frac{3}{4\pi R^3} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}\). Ответ: 5 : 16.
Дано два равных шара с центрами \(O_1\) и \(O_2\) и радиусами \(R_1 = R_2 = R\). По условию, центр одного шара лежит на поверхности другого, что означает, что расстояние между центрами шаров равно их радиусу, то есть \(O_1O_2 = R\).
Рассмотрим сечение шаров плоскостью, проходящей через центры \(O_1\) и \(O_2\). В этом сечении мы увидим две окружности радиуса \(R\), центры которых находятся на расстоянии \(R\) друг от друга. Точки пересечения этих окружностей обозначим \(A\) и \(B\). Соединив центры и точки пересечения, получим четырехугольник \(O_1AO_2B\). Все стороны этого четырехугольника равны радиусу \(R\), так как \(O_1A = O_1B = R\) (радиусы первого шара) и \(O_2A = O_2B = R\) (радиусы второго шара). Следовательно, четырехугольник \(O_1AO_2B\) является ромбом.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Диагоналями ромба \(O_1AO_2B\) являются отрезки \(AB\) и \(O_1O_2\). Пусть \(C\) — точка пересечения диагоналей. Тогда \(AB \perp O_1O_2\), и точка \(C\) является серединой отрезка \(O_1O_2\). Поскольку \(O_1O_2 = R\), то \(O_1C = CO_2 = \frac{R}{2}\).
Общая часть двух пересекающихся шаров представляет собой тело, составленное из двух одинаковых шаровых сегментов. Каждый сегмент отсекается от своего шара плоскостью, проходящей через общую окружность пересечения (с центром в точке \(C\) и радиусом \(AC\)). Высота каждого шарового сегмента — это расстояние от центра соответствующего шара до плоскости сечения. Для первого шара высота сегмента равна \(h_1 = O_1C = \frac{R}{2}\). Для второго шара высота сегмента равна \(h_2 = O_2C = \frac{R}{2}\). Таким образом, оба сегмента имеют одинаковую высоту \(h = \frac{R}{2}\).
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле \(V_{сегмента} = \pi h^2 (R — \frac{1}{3}h)\), где \(R\) — радиус шара, а \(h\) — высота сегмента. Подставим значение высоты \(h = \frac{R}{2}\) в формулу объема сегмента:
\(V_{сегмента} = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(R — \frac{1}{3}\left(\frac{R}{2}\right)\right)\)
\(V_{сегмента} = \pi \frac{R^2}{4} \left(R — \frac{R}{6}\right)\)
Для вычисления выражения в скобках приведем к общему знаменателю: \(R — \frac{R}{6} = \frac{6R}{6} — \frac{R}{6} = \frac{5R}{6}\).
Теперь подставим это обратно в формулу объема сегмента:
\(V_{сегмента} = \pi \frac{R^2}{4} \left(\frac{5R}{6}\right)\)
\(V_{сегмента} = \frac{5\pi R^3}{24}\).
Общая часть шаров состоит из двух таких одинаковых сегментов, поэтому ее объем \(V_{общ}\) равен удвоенному объему одного сегмента:
\(V_{общ} = 2 \cdot V_{сегмента} = 2 \cdot \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{10\pi R^3}{24}\).
Сократим дробь \(\frac{10}{24}\) на 2: \(\frac{10}{24} = \frac{5}{12}\).
Таким образом, объем общей части шаров равен \(V_{общ} = \frac{5\pi R^3}{12}\).
Объем одного шара с радиусом \(R\) вычисляется по формуле \(V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Нам необходимо найти отношение объема общей части шаров к объему одного шара, то есть \(\frac{V_{общ}}{V_1}\).
\(\frac{V_{общ}}{V_1} = \frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4}{3}\pi R^3}\).
Чтобы разделить две дроби, умножим первую дробь на обратную второй:
\(\frac{V_{общ}}{V_1} = \frac{5\pi R^3}{12} \cdot \frac{3}{4\pi R^3}\).
Сократим \(\pi R^3\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{V_{общ}}{V_1} = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{4}\).
Умножим числители и знаменатели:
\(\frac{V_{общ}}{V_1} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 4} = \frac{15}{48}\).
Сократим дробь \(\frac{15}{48}\) на наибольший общий делитель 3:
\(\frac{15 \div 3}{48 \div 3} = \frac{5}{16}\).
Таким образом, отношение объема общей части шаров к объему одного шара составляет \(5:16\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.