Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 507 Атанасян — Подробные Ответы
В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
Дано: диаметр мензурки \(d_1 = 2.5\) см, диаметр шариков \(d_2 = 1\) см, количество шариков \(n = 4\).
Найдем общий объем четырех шариков. Объем одного шарика \(V_2 = \frac{1}{6}\pi d_2^3\). Общий объем \(V = n V_2 = 4 \cdot \frac{1}{6}\pi d_2^3 = \frac{2}{3}\pi d_2^3\). Подставив \(d_2 = 1\) см, получим \(V = \frac{2}{3}\pi (1)^3 = \frac{2}{3}\pi\) см³.
Объем воды в мензурке увеличится на объем, равный объему шариков. Поскольку мензурка имеет цилиндрическую форму, увеличение объема воды \(V\) связано с изменением уровня воды \(\Delta H\) соотношением \(V = \text{площадь основания} \times \Delta H\). Площадь основания цилиндра равна \(\pi R_1^2\), где \(R_1\) — радиус мензурки. Так как \(R_1 = \frac{d_1}{2}\), площадь основания равна \(\pi (\frac{d_1}{2})^2 = \frac{\pi d_1^2}{4}\). Следовательно, \(V = \frac{\pi d_1^2}{4} \Delta H\).
Выразим изменение уровня воды \(\Delta H\): \(\Delta H = \frac{4V}{\pi d_1^2}\). Подставим значение \(V = \frac{2}{3}\pi\) и \(d_1 = 2.5\) см: \(\Delta H = \frac{4 \cdot \frac{2}{3}\pi}{\pi (2.5)^2} = \frac{\frac{8}{3}\pi}{6.25\pi} = \frac{8/3}{6.25} = \frac{8}{3 \cdot 6.25} = \frac{8}{18.75}\).
Для преобразования дроби \(\frac{8}{18.75}\) умножим числитель и знаменатель на 100: \(\frac{800}{1875}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий делитель 25: \(800 \div 25 = 32\) и \(1875 \div 25 = 75\).
Таким образом, изменение уровня воды \(\Delta H = \frac{32}{75}\) см.
Ответ: уровень воды изменится на \(\frac{32}{75}\) см.
Дано: диаметр мензурки \(d_1 = 2.5\) см, диаметр каждого из четырех металлических шариков \(d_2 = 1\) см, количество шариков \(n = 4\). Требуется найти изменение уровня воды в мензурке \(\Delta H\).
Сначала определим объем одного металлического шарика. Шарик имеет форму сферы. Объем сферы радиусом \(r\) вычисляется по формуле \(V_{\text{сфера}} = \frac{4}{3}\pi r^3\). Поскольку дан диаметр шарика \(d_2\), его радиус равен \(r_2 = \frac{d_2}{2}\). Таким образом, объем одного шарика \(V_2 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d_2^3}{8} = \frac{1}{6}\pi d_2^3\).
Далее найдем общий объем всех четырех шариков. Поскольку шариков \(n = 4\) и они равны, их общий объем \(V\) равен произведению количества шариков на объем одного шарика: \(V = n \cdot V_2 = 4 \cdot \frac{1}{6}\pi d_2^3 = \frac{4}{6}\pi d_2^3 = \frac{2}{3}\pi d_2^3\). Подставляя данное значение диаметра шарика \(d_2 = 1\) см, получаем общий объем шариков \(V = \frac{2}{3}\pi (1)^3 = \frac{2}{3}\pi\) см³.
Когда металлические шарики опускают в мензурку с водой, они вытесняют объем воды, равный их собственному объему. Этот вытесненный объем воды приводит к повышению уровня воды в мензурке. Мензурка имеет цилиндрическую форму. Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V_{\text{цилиндр}} = \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\). В данном случае, объем вытесненной воды \(V\) равен объему части цилиндра с площадью основания мензурки и высотой, равной изменению уровня воды \(\Delta H\).
Основание цилиндрической мензурки представляет собой круг диаметром \(d_1\). Радиус основания мензурки равен \(R_1 = \frac{d_1}{2}\). Площадь основания мензурки равна \(\text{Площадь основания} = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \frac{\pi d_1^2}{4}\).
Объем вытесненной воды, который равен общему объему шариков \(V\), также можно выразить через изменение уровня воды \(\Delta H\) и площадь основания мензурки: \(V = \frac{\pi d_1^2}{4} \Delta H\).
Теперь мы можем приравнять два выражения для объема \(V\): объем шариков и объем вытесненной воды.
\(\frac{\pi d_1^2}{4} \Delta H = \frac{2}{3}\pi d_2^3\).
Нам нужно найти \(\Delta H\). Для этого выразим \(\Delta H\) из уравнения, разделив обе стороны на \(\frac{\pi d_1^2}{4}\):
\(\Delta H = \frac{\frac{2}{3}\pi d_2^3}{\frac{\pi d_1^2}{4}}\).
Сократим \(\pi\) в числителе и знаменателе:
\(\Delta H = \frac{\frac{2}{3} d_2^3}{\frac{d_1^2}{4}}\).
Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную дробь:
\(\Delta H = \frac{2}{3} d_2^3 \cdot \frac{4}{d_1^2} = \frac{8 d_2^3}{3 d_1^2}\).
Подставим данные значения \(d_1 = 2.5\) см и \(d_2 = 1\) см:
\(\Delta H = \frac{8 (1)^3}{3 (2.5)^2} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot (2.5 \times 2.5)} = \frac{8}{3 \cdot 6.25} = \frac{8}{18.75}\).
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:
\(\Delta H = \frac{8 \times 100}{18.75 \times 100} = \frac{800}{1875}\).
Теперь сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 25.
\(800 \div 25 = 32\).
\(1875 \div 25 = 75\).
Следовательно, \(\Delta H = \frac{32}{75}\) см.
Это означает, что уровень воды в мензурке увеличится на \(\frac{32}{75}\) см.
Ответ: уровень воды изменится на \(\frac{32}{75}\) см.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.