Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 506 Атанасян — Подробные Ответы
Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
Объем двух ложек мороженого в виде полушарий диаметром \(d_2 = 5\) см равен объему шара диаметром \(d_2\). Объем шара находится по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), где \(R = \frac{d_2}{2}\). Следовательно, объем мороженого \(V_2 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d_2^3}{8} = \frac{\pi d_2^3}{6}\). Подставляя \(d_2 = 5\) см, получаем \(V_2 = \frac{\pi \cdot 5^3}{6} = \frac{125\pi}{6}\) см³.
Объем стаканчика конической формы с высотой \(H = 12\) см и диаметром верхней части \(d_1 = 5\) см находится по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 H\), где \(r = \frac{d_1}{2}\). Следовательно, объем стаканчика \(V_1 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3}\pi \frac{d_1^2}{4} H = \frac{\pi d_1^2 H}{12}\). Подставляя \(d_1 = 5\) см и \(H = 12\) см, получаем \(V_1 = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 12}{12} = 25\pi\) см³.
Сравнивая объемы, видим, что \(V_2 = \frac{125\pi}{6}\) и \(V_1 = 25\pi\). Так как \(\frac{125}{6} < 25\) (\(125 < 150\)), то \(V_2 < V_1\). Следовательно, стаканчик не переполнится.
Дано: высота конуса \(H = 12\) см, диаметр основания конуса \(d_1 = 5\) см, диаметр полушарий мороженого \(d_2 = 5\) см.
Найти: переполнится ли стаканчик, то есть сравнить объем растаявшего мороженого с объемом стаканчика.
Решение:
Сначала найдем объем растаявшего мороженого. Две ложки мороженого в виде полушарий диаметром \(d_2\) имеют суммарный объем, равный объему одного шара с таким же диаметром \(d_2\). Объем шара вычисляется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), где \(R\) — радиус шара. Радиус связан с диаметром соотношением \(R = \frac{d}{2}\). Таким образом, радиус шара мороженого равен \(R_2 = \frac{d_2}{2}\). Объем двух полушарий мороженого \(V_2\) равен объему шара с радиусом \(R_2\): \(V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^3\). Упрощая это выражение, получаем \(V_2 = \frac{4}{3}\pi \frac{d_2^3}{8} = \frac{\pi d_2^3}{6}\). Подставляя данное значение диаметра \(d_2 = 5\) см, вычисляем объем мороженого: \(V_2 = \frac{\pi \cdot 5^3}{6} = \frac{125\pi}{6}\) см³.
Теперь найдем объем стаканчика, который имеет коническую форму. Объем конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 H\), где \(r\) — радиус основания конуса, а \(H\) — его высота. Радиус основания стаканчика связан с его диаметром \(d_1\) соотношением \(r_1 = \frac{d_1}{2}\). Высота стаканчика дана как \(H = 12\) см, а диаметр основания \(d_1 = 5\) см. Подставляем эти значения в формулу объема конуса: \(V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 H\). Упрощая, получаем \(V_1 = \frac{1}{3}\pi \frac{d_1^2}{4} H = \frac{\pi d_1^2 H}{12}\). Подставляем числовые значения \(d_1 = 5\) см и \(H = 12\) см: \(V_1 = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 12}{12}\). Выполняя вычисления, получаем \(V_1 = \frac{\pi \cdot 25 \cdot 12}{12} = 25\pi\) см³.
Наконец, сравним объем растаявшего мороженого \(V_2\) с объемом стаканчика \(V_1\). У нас есть \(V_2 = \frac{125\pi}{6}\) см³ и \(V_1 = 25\pi\) см³. Чтобы сравнить эти объемы, можно сравнить числовые коэффициенты при \(\pi\): \(\frac{125}{6}\) и \(25\). Преобразуем \(25\) к дроби со знаменателем \(6\): \(25 = \frac{25 \cdot 6}{6} = \frac{150}{6}\). Теперь сравниваем \(\frac{125}{6}\) и \(\frac{150}{6}\). Очевидно, что \(125 < 150\), следовательно, \(\frac{125}{6} < \frac{150}{6}\). Таким образом, \(V_2 < V_1\). Поскольку объем растаявшего мороженого меньше объема стаканчика (\(V_2 < V_1\)), стаканчик не переполнится.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.