Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 505 Атанасян — Подробные Ответы
Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
Пусть радиус шара и основания цилиндра равен \(R\), так как их диаметры равны. Объём цилиндра равен \(V_ц = \pi R^2 H\), где \(H\) — высота цилиндра. Объём шара равен \(V_ш = \frac{4}{3}\pi R^3\). Поскольку объёмы равны, \(V_ц = V_ш\), следовательно \(\pi R^2 H = \frac{4}{3}\pi R^3\). Разделив обе части на \(\pi R^2\), получим \(H = \frac{4}{3}R\). Высота цилиндра равна \(H = \frac{4}{3}R\).
Дано, что объём шара \(V_ш\) равен объёму цилиндра \(V_ц\), то есть \(V_ш = V_ц\). Также дано, что диаметр шара \(d_ш\) равен диаметру основания цилиндра \(d_{осн ц}\), то есть \(d_ш = d_{осн ц}\).
Поскольку диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, их радиусы также равны. Обозначим радиус шара как \(R_ш\) и радиус основания цилиндра как \(R_ц\). Тогда \(R_ш = R_ц\). Введём единое обозначение для этого радиуса \(R\), так что \(R_ш = R_ц = R\).
Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V_ц = S_{осн} \cdot H\), где \(S_{осн}\) — площадь основания цилиндра, а \(H\) — его высота. Основание цилиндра является кругом с радиусом \(R\), поэтому площадь основания равна \(S_{осн} = \pi R^2\). Таким образом, объём цилиндра равен \(V_ц = \pi R^2 H\).
Объём шара с радиусом \(R\) вычисляется по формуле \(V_ш = \frac{4}{3}\pi R^3\).
Согласно условию задачи, объёмы шара и цилиндра равны: \(V_ш = V_ц\). Подставляем выражения для объёмов: \(\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 H\).
Наша задача — найти высоту цилиндра \(H\). Для этого выразим \(H\) из уравнения \(\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 H\). Разделим обе части уравнения на \(\pi R^2\). Поскольку \(R\) — радиус, он не равен нулю, и \(\pi\) не равно нулю, поэтому деление возможно.
\(\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 H}{\pi R^2}\)
Сокращаем \(\pi\) и \(R^2\) в обеих частях:
\(\frac{4}{3} R = H\)
Таким образом, высота цилиндра \(H\) выражается через радиус шара \(R\) как \(H = \frac{4}{3}R\).
Ответ: Высота цилиндра равна \(H = \frac{4}{3}R\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.