ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 504 Атанасян — Подробные Ответы

Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

Объем шара определяется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Отношение объема Земли к объему Луны равно \(\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_З^3}{\frac{4}{3}\pi R_Л^3} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3\). Из условия \(R_Л = \frac{1}{4}R_З = 0.25R_З\), следовательно \(\frac{R_З}{R_Л} = \frac{R_З}{0.25R_З} = \frac{1}{0.25} = 4\). Тогда \(\frac{V_З}{V_Л} = (4)^3 = 64\). Объем Земли в 64 раза больше объема Луны.

Объем шара определяется по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), где \(V\) — объем шара, \(\pi\) — математическая константа, приближенно равная 3.14159, а \(R\) — радиус шара. Эта формула показывает, что объем шара пропорционален кубу его радиуса.

Чтобы найти отношение объема Земли к объему Луны, мы можем использовать эту формулу для каждого небесного тела. Обозначим объем Земли как \(V_З\) и ее радиус как \(R_З\), а объем Луны как \(V_Л\) и ее радиус как \(R_Л\).
Тогда объем Земли равен \(V_З = \frac{4}{3}\pi R_З^3\), а объем Луны равен \(V_Л = \frac{4}{3}\pi R_Л^3\).

Отношение объема Земли к объему Луны можно записать как дробь:
\(\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_З^3}{\frac{4}{3}\pi R_Л^3}\)

В этой дроби множитель \(\frac{4}{3}\pi\) присутствует как в числителе, так и в знаменателе, поэтому его можно сократить:
\(\frac{V_З}{V_Л} = \frac{R_З^3}{R_Л^3}\)

Используя свойство степеней \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\), мы можем переписать это выражение как:
\(\frac{V_З}{V_Л} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3\)

По условию задачи дано, что радиус Луны составляет четвертую часть радиуса Земли, что можно записать как \(R_Л = \frac{1}{4}R_З\). Это также можно записать в десятичной форме как \(R_Л = 0.25R_З\).

Теперь подставим это соотношение радиусов в формулу для отношения объемов:
\(\frac{V_З}{V_Л} = \left(\frac{R_З}{0.25R_З}\right)^3\)

В скобках мы видим отношение \(R_З\) к \(0.25R_З\). Переменная \(R_З\) присутствует как в числителе, так и в знаменателе, поэтому ее можно сократить:
\(\frac{R_З}{0.25R_З} = \frac{1}{0.25}\)

Деление на 0.25 эквивалентно умножению на 4:
\(\frac{1}{0.25} = 4\)

Таким образом, отношение радиусов равно 4. Подставляем это значение обратно в формулу для отношения объемов:
\(\frac{V_З}{V_Л} = (4)^3\)

Возводим 4 в куб:
\(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64\)

Следовательно, отношение объема Земли к объему Луны равно 64:
\(\frac{V_З}{V_Л} = 64\)

Это означает, что объем Земли в 64 раза больше объема Луны.