Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 503 Атанасян — Подробные Ответы
Пусть \(V\) — объём шара радиуса \(R\), а \(S\) — площадь его поверхности. Найдите: а) \(S\) и \(V\), если \(R = 4\) см; б) \(R\) и \(S\), если \(V = 113,04\) см\(^3\); в) \(R\) и \(V\), если \(S = 64\pi\) см\(^2\).
а) \(S = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi\) см\(^2\), \(V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{256}{3}\pi\) см\(^3\); б) \(R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 113,04}{4\pi}} \approx 3\) см, \(S = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi\) см\(^2\); в) \(R = \sqrt{\frac{64\pi}{4\pi}} = 4\) см, \(V = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{256}{3}\pi\) см\(^3\).
Площадь шара радиуса \(R\) находится по формуле \(S = 4\pi R^2\). Из этой формулы радиус можно выразить как \(R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\). Объем шара радиуса \(R\) находится по формуле \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Из этой формулы радиус можно выразить как \(R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\).
В первом случае дано, что радиус шара \(R = 4\) см. Используем формулу для площади поверхности шара: \(S = 4\pi R^2\). Подставляем значение радиуса: \(S = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi\) см\(^2\). Теперь используем формулу для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Подставляем значение радиуса: \(V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi\) см\(^3\).
Во втором случае дано, что объем шара \(V = 113,04\) см\(^3\). Используем формулу для нахождения радиуса через объем: \(R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\). Подставляем значение объема: \(R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 113,04}{4\pi}}\). Приближенно принимая \(\pi \approx 3,14\), получаем \(R \approx \sqrt[3]{\frac{339,12}{12,56}} \approx \sqrt[3]{27} = 3\) см. Теперь используем формулу для площади поверхности шара с найденным радиусом: \(S = 4\pi R^2\). Подставляем значение радиуса: \(S = 4\pi (3)^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\) см\(^2\).
В третьем случае дано, что площадь поверхности шара \(S = 64\pi\) см\(^2\). Используем формулу для нахождения радиуса через площадь поверхности: \(R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\). Подставляем значение площади: \(R = \sqrt{\frac{64\pi}{4\pi}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4\) см. Теперь используем формулу для объема шара с найденным радиусом: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\). Подставляем значение радиуса: \(V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi\) см\(^3\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.