1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 501 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса

Краткий ответ:


Дано: меньший радиус основания \(r_м = 3\) м, больший радиус основания \(r_б = 6\) м, образующая \(l = 5\) м.
Найти: объём усечённого конуса \(V\).

Решение:
Объём усечённого конуса находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi (r_м^2 + r_б^2 + r_м r_б) h\).
Высоту \(h\) найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, образующей и разностью радиусов оснований, по теореме Пифагора: \(h^2 + (r_б — r_м)^2 = l^2\).
Подставляем значения: \(h^2 + (6 — 3)^2 = 5^2\).
\(h^2 + 3^2 = 5^2\).
\(h^2 + 9 = 25\).
\(h^2 = 25 — 9\).
\(h^2 = 16\).
\(h = 4\) м.
Теперь подставим значения радиусов и высоты в формулу объёма:
\(V = \frac{1}{3} \pi (3^2 + 6^2 + 3 \cdot 6) \cdot 4\).
\(V = \frac{1}{3} \pi (9 + 36 + 18) \cdot 4\).
\(V = \frac{1}{3} \pi (63) \cdot 4\).
\(V = 21 \pi \cdot 4\).
\(V = 84 \pi\) м³.

Ответ: \(V = 84 \pi\) м³.

Подробный ответ:


Дано: усеченный конус с меньшим радиусом основания \(r_м = 3\) м, большим радиусом основания \(r_б = 6\) м и образующей \(l = 5\) м.
Найти: объём усеченного конуса \(V\).

Решение:
Объём усеченного конуса можно вычислить по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi (r_м^2 + r_б^2 + r_м r_б) h\), где \(r_м\) и \(r_б\) — радиусы оснований, а \(h\) — высота конуса.
Для применения этой формулы нам необходимо найти высоту \(h\) усеченного конуса. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Если опустить высоту из вершины меньшего основания на плоскость большего основания, мы получим прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является образующая конуса \(l\), одним катетом — высота конуса \(h\), а другим катетом — разность радиусов оснований \(r_б — r_м\).
По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника справедливо соотношение: \(h^2 + (r_б — r_м)^2 = l^2\).
Подставим известные значения: \(r_м = 3\) м, \(r_б = 6\) м, \(l = 5\) м.
Получаем уравнение: \(h^2 + (6 — 3)^2 = 5^2\).
Упростим выражение в скобках: \(6 — 3 = 3\).
Уравнение принимает вид: \(h^2 + 3^2 = 5^2\).
Вычислим квадраты: \(3^2 = 9\) и \(5^2 = 25\).
Уравнение становится: \(h^2 + 9 = 25\).
Чтобы найти \(h^2\), вычтем 9 из обеих частей уравнения: \(h^2 = 25 — 9\).
Выполним вычитание: \(h^2 = 16\).
Извлечем квадратный корень, чтобы найти высоту \(h\). Поскольку высота не может быть отрицательной, берем положительный корень: \(h = \sqrt{16}\).
Таким образом, высота усеченного конуса равна \(h = 4\) м.
Теперь, когда у нас есть все необходимые значения (радиусы \(r_м = 3\) м, \(r_б = 6\) м и высота \(h = 4\) м), мы можем подставить их в формулу объёма усеченного конуса:
\(V = \frac{1}{3} \pi (r_м^2 + r_б^2 + r_м r_б) h\).
\(V = \frac{1}{3} \pi (3^2 + 6^2 + 3 \cdot 6) \cdot 4\).
Вычислим квадраты и произведение в скобках: \(3^2 = 9\), \(6^2 = 36\), \(3 \cdot 6 = 18\).
Подставим эти значения обратно в формулу: \(V = \frac{1}{3} \pi (9 + 36 + 18) \cdot 4\).
Сложим числа в скобках: \(9 + 36 + 18 = 63\).
Формула принимает вид: \(V = \frac{1}{3} \pi (63) \cdot 4\).
Умножим \(\frac{1}{3}\) на 63: \(\frac{1}{3} \cdot 63 = 21\).
Теперь у нас есть: \(V = 21 \pi \cdot 4\).
Выполним последнее умножение: \(21 \cdot 4 = 84\).
Следовательно, объём усеченного конуса равен \(V = 84 \pi\) м³.

Ответ: Объём усеченного конуса составляет \(84 \pi\) м³.


Исследовательские задачи
Общая оценка
5 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.