Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 500 Атанасян — Подробные Ответы
Площадь полной поверхности конуса равна \(45\pi\) дм\(^2\). Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объём конуса.
Площадь полной поверхности конуса \(S = \pi r^2 + \pi r l\). Дано \(S = 45\pi\), откуда \(r^2 + r l = 45\), или \(r(r+l) = 45\). Угол развертки боковой поверхности \(\phi = \frac{360^\circ r}{l}\). Дано \(\phi = 60^\circ\), откуда \(60^\circ = \frac{360^\circ r}{l}\), что дает \(l = 6r\). Подставляя \(l = 6r\) в уравнение для площади, получаем \(r(r+6r) = 45\), или \(7r^2 = 45\), откуда \(r^2 = \frac{45}{7}\). По теореме Пифагора \(h^2 + r^2 = l^2\). Подставляя \(l = 6r\), имеем \(h^2 + r^2 = (6r)^2 = 36r^2\), откуда \(h^2 = 35r^2\), и \(h = \sqrt{35r^2} = r\sqrt{35}\). Объем конуса \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). Подставляя значения \(r^2 = \frac{45}{7}\) и \(h = r\sqrt{35} = \sqrt{\frac{45}{7}}\sqrt{35}\), получаем \(V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{45}{7}\right) \left(\sqrt{\frac{45}{7}}\sqrt{35}\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{45}{7} \sqrt{\frac{45 \cdot 35}{7}} = \frac{1}{3}\pi \frac{45}{7} \sqrt{45 \cdot 5} = \frac{1}{3}\pi \frac{45}{7} \sqrt{225} =\)
\(=\frac{1}{3}\pi \frac{45}{7} \cdot 15 = \pi \frac{15}{7} \cdot 15 = \frac{225\pi}{7}\). Ответ: Объем конуса равен \(\frac{225\pi}{7}\) дм\(^3\).
Площадь полной поверхности конуса \(S\) складывается из площади основания \(S_{осн}\) и площади боковой поверхности \(S_{бок}\). Площадь основания, которое является кругом радиуса \(r\), равна \(S_{осн} = \pi r^2\). Площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{бок} = \pi r l\), где \(l\) — образующая конуса. Таким образом, площадь полной поверхности конуса \(S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)\). По условию задачи, площадь полной поверхности конуса равна \(45\pi\) дм\(^2\). Приравнивая формулу к данному значению, получаем уравнение \(\pi r(r+l) = 45\pi\). Разделив обе части уравнения на \(\pi\), получаем \(r(r+l) = 45\). Обозначим это уравнение как (1).
Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с радиусом, равным образующей конуса \(l\), и длиной дуги, равной длине окружности основания конуса, то есть \(2\pi r\). Угол сектора \(\phi\) связан с радиусом основания \(r\) и образующей \(l\) соотношением \(\phi = \frac{2\pi r}{2\pi l} \cdot 360^\circ = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ\). По условию задачи, угол развертки боковой поверхности равен 60°. Подставляя это значение в формулу, получаем \(60^\circ = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ\). Разделим обе части уравнения на 60°: \(1 = \frac{r}{l} \cdot 6\). Умножим обе части на \(l\): \(l = 6r\). Это соотношение между образующей и радиусом основания. Обозначим это соотношение как (2).
Теперь подставим соотношение \(l = 6r\) из уравнения (2) в уравнение (1): \(r(r + 6r) = 45\). Упростим выражение в скобках: \(r(7r) = 45\). Это дает \(7r^2 = 45\). Выразим \(r^2\): \(r^2 = \frac{45}{7}\).
Высота конуса \(h\), радиус основания \(r\) и образующая \(l\) связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой: \(h^2 + r^2 = l^2\). Подставим в это уравнение соотношение \(l = 6r\) из (2): \(h^2 + r^2 = (6r)^2\). Возведем \(6r\) в квадрат: \(h^2 + r^2 = 36r^2\). Вычтем \(r^2\) из обеих частей уравнения, чтобы найти \(h^2\): \(h^2 = 36r^2 — r^2 = 35r^2\). Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти \(h\): \(h = \sqrt{35r^2} = \sqrt{35} \cdot \sqrt{r^2}\). Поскольку \(r\) является радиусом и неотрицателен, \(\sqrt{r^2} = r\). Следовательно, \(h = r\sqrt{35}\).
Объем конуса \(V\) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). У нас есть значение для \(r^2 = \frac{45}{7}\) и выражение для \(h = r\sqrt{35}\). Подставим их в формулу объема: \(V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{45}{7}\right) (r\sqrt{35})\). Чтобы выразить \(h\) через \(r^2\), мы можем написать \(h = \sqrt{35r^2} = \sqrt{35 \cdot \frac{45}{7}} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225} = 15\). Тогда объем \(V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{45}{7}\right) \cdot 15\). Выполним умножение: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{7} \cdot 15 \cdot \pi = \frac{45 \cdot 15}{3 \cdot 7} \pi = \frac{15 \cdot 15}{7} \pi = \frac{225}{7} \pi\).
Таким образом, объем конуса равен \(\frac{225\pi}{7}\) дм\(^3\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.