ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 499 Атанасян — Подробные Ответы

Высота конуса равна 12 см, а его объём равен \(324\pi\) см\(^3\). Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Дано: высота конуса \(h = 12\) см, объём конуса \(V = 324\pi\) см\(^3\). Найти угол развертки конуса \(\phi\).
Объём конуса выражается формулой \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания. Подставим известные значения: \(324\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (12)\), что упрощается до \(324 = 4r^2\). Из этого находим радиус основания: \(r^2 = \frac{324}{4} = 81\), следовательно, \(r = \sqrt{81} = 9\) см (так как радиус положителен).
Образующая конуса \(l\) связана с высотой \(h\) и радиусом основания \(r\) по теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + r^2\). Подставим значения \(h = 12\) и \(r = 9\): \(l^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\). Таким образом, образующая \(l = \sqrt{225} = 15\) см (так как образующая положительна).
Угол сектора развертки боковой поверхности конуса \(\phi\) вычисляется по формуле \(\phi = \frac{360^\circ \cdot r}{l}\). Подставим значения \(r = 9\) и \(l = 15\): \(\phi = \frac{360^\circ \cdot 9}{15} = \frac{360^\circ}{15} \cdot 9 = 24^\circ \cdot 9 = 216^\circ\).
Ответ: угол развертки конуса равен \(216^\circ\).

Дано: высота конуса \(h = 12\) см, объём конуса \(V = 324\pi\) см\(^3\). Необходимо найти угол развертки боковой поверхности конуса \(\phi\).

Первым шагом мы используем формулу для объёма конуса, чтобы найти радиус его основания. Формула объёма конуса имеет вид \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V\) — объём, \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота конуса.
Подставим в эту формулу известные значения объёма \(V = 324\pi\) см\(^3\) и высоты \(h = 12\) см:
\(324\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 (12)\).
Мы можем сократить \(\pi\) с обеих сторон уравнения:
\(324 = \frac{1}{3} r^2 (12)\).
Умножим \(\frac{1}{3}\) на 12:
\(324 = 4 r^2\).
Теперь выразим \(r^2\), разделив обе части уравнения на 4:
\(r^2 = \frac{324}{4}\).
Вычислим значение:
\(r^2 = 81\).
Чтобы найти радиус \(r\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем положительный корень:
\(r = \sqrt{81} = 9\) см.
Итак, радиус основания конуса равен 9 см.

Вторым шагом мы найдем образующую конуса \(l\). Образующая, высота и радиус основания конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(l^2 = h^2 + r^2\).
Подставим в эту формулу известные значения высоты \(h = 12\) см и найденного радиуса \(r = 9\) см:
\(l^2 = 12^2 + 9^2\).
Вычислим квадраты:
\(l^2 = 144 + 81\).
Сложим значения:
\(l^2 = 225\).
Чтобы найти образующую \(l\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку образующая не может быть отрицательной, мы берем положительный корень:
\(l = \sqrt{225} = 15\) см.
Итак, образующая конуса равна 15 см.

Третьим шагом мы вычислим угол развертки боковой поверхности конуса. Когда боковая поверхность конуса разворачивается на плоскость, она образует круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса \(l\), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса \(C = 2\pi r\). Угол сектора \(\phi\) (в градусах) связан с радиусом основания \(r\) и образующей \(l\) формулой:
\(\phi = \frac{360^\circ \cdot r}{l}\).
Подставим в эту формулу найденные значения радиуса \(r = 9\) см и образующей \(l = 15\) см:
\(\phi = \frac{360^\circ \cdot 9}{15}\).
Выполним вычисления:
\(\phi = \frac{3240^\circ}{15}\).
Разделим 3240 на 15:
\(\phi = 216^\circ\).
Таким образом, угол развертки боковой поверхности конуса составляет 216 градусов.

Ответ: угол развертки конуса равен \(216^\circ\).