Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 497 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите объём конуса, если площадь его основания равна \(Q\), а площадь боковой поверхности равна \(Р\).
Дано: диаметр конуса \(D\), высота конуса \(h\), причем \(D = h = H\).
Найти: объем конуса \(V_{\text{конуса}}\).
Решение: Объем конуса находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Радиус основания равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{D}{2}\). Подставляя \(r = \frac{D}{2}\) и \(h = H\) в формулу объема, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{D^2}{4} H\). Так как \(D = H\), заменяем \(D\) на \(H\): \(V = \frac{1}{3} \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{\pi H^3}{12}\).
Ответ: \(V_{\text{конуса}} = \frac{\pi H^3}{12}\).
Дано, что у нас есть конус. Известно, что диаметр основания конуса обозначен как \(D\), а его высота как \(h\). Также дано условие, что диаметр основания равен высоте конуса, и обе эти величины равны некоторому значению \(H\), то есть \(D = h = H\). Нам необходимо найти объем этого конуса, который обозначен как \(V_{\text{конуса}}\).
Для нахождения объема конуса используется стандартная формула: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) представляет собой радиус основания конуса, а \(h\) — его высоту.
Мы знаем, что диаметр основания \(D\) связан с радиусом \(r\) соотношением \(D = 2r\). Следовательно, радиус основания можно выразить через диаметр как \(r = \frac{D}{2}\).
Теперь мы можем подставить выражение для радиуса \(r\) в формулу объема конуса. Заменяя \(r\) на \(\frac{D}{2}\), получаем: \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 h\).
Далее упростим выражение в скобках, возведя \(\frac{D}{2}\) во вторую степень: \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{2^2} = \frac{D^2}{4}\).
Подставляем это обратно в формулу объема: \(V = \frac{1}{3} \pi \frac{D^2}{4} h\).
Теперь сгруппируем числовые и постоянные множители: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi D^2 h = \frac{1}{12} \pi D^2 h\).
По условию задачи нам дано, что \(D = H\) и \(h = H\). Используем эти соотношения, чтобы выразить объем конуса через \(H\). Подставляем \(D = H\) и \(h = H\) в полученную формулу объема: \(V = \frac{1}{12} \pi (H)^2 (H)\).
Упрощаем выражение, перемножая степени \(H\): \(H^2 \cdot H = H^{2+1} = H^3\).
Таким образом, формула для объема конуса с учетом данных условий принимает вид: \(V = \frac{1}{12} \pi H^3\).
Следовательно, объем конуса \(V_{\text{конуса}}\) равен \(\frac{\pi H^3}{12}\).
Ответ: \(V_{\text{конуса}} = \frac{\pi H^3}{12}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.