ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 497 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите объём конуса, если площадь его основания равна \(Q\), а площадь боковой поверхности равна \(Р\).

Дано: диаметр конуса \(D\), высота конуса \(h\), причем \(D = h = H\).
Найти: объем конуса \(V_{\text{конуса}}\).
Решение: Объем конуса находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Радиус основания равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{D}{2}\). Подставляя \(r = \frac{D}{2}\) и \(h = H\) в формулу объема, получаем \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{D^2}{4} H\). Так как \(D = H\), заменяем \(D\) на \(H\): \(V = \frac{1}{3} \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{\pi H^3}{12}\).
Ответ: \(V_{\text{конуса}} = \frac{\pi H^3}{12}\).

Дано, что у нас есть конус. Известно, что диаметр основания конуса обозначен как \(D\), а его высота как \(h\). Также дано условие, что диаметр основания равен высоте конуса, и обе эти величины равны некоторому значению \(H\), то есть \(D = h = H\). Нам необходимо найти объем этого конуса, который обозначен как \(V_{\text{конуса}}\).

Для нахождения объема конуса используется стандартная формула: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(r\) представляет собой радиус основания конуса, а \(h\) — его высоту.

Мы знаем, что диаметр основания \(D\) связан с радиусом \(r\) соотношением \(D = 2r\). Следовательно, радиус основания можно выразить через диаметр как \(r = \frac{D}{2}\).

Теперь мы можем подставить выражение для радиуса \(r\) в формулу объема конуса. Заменяя \(r\) на \(\frac{D}{2}\), получаем: \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 h\).

Далее упростим выражение в скобках, возведя \(\frac{D}{2}\) во вторую степень: \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{2^2} = \frac{D^2}{4}\).

Подставляем это обратно в формулу объема: \(V = \frac{1}{3} \pi \frac{D^2}{4} h\).

Теперь сгруппируем числовые и постоянные множители: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi D^2 h = \frac{1}{12} \pi D^2 h\).

По условию задачи нам дано, что \(D = H\) и \(h = H\). Используем эти соотношения, чтобы выразить объем конуса через \(H\). Подставляем \(D = H\) и \(h = H\) в полученную формулу объема: \(V = \frac{1}{12} \pi (H)^2 (H)\).

Упрощаем выражение, перемножая степени \(H\): \(H^2 \cdot H = H^{2+1} = H^3\).

Таким образом, формула для объема конуса с учетом данных условий принимает вид: \(V = \frac{1}{12} \pi H^3\).

Следовательно, объем конуса \(V_{\text{конуса}}\) равен \(\frac{\pi H^3}{12}\).

Ответ: \(V_{\text{конуса}} = \frac{\pi H^3}{12}\).