Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 496 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите объём конуса, если площадь его основания равна \(Q\), а площадь боковой поверхности равна \(Р\).
Дано: конус, площадь боковой поверхности \(S_{боковой} = P\), площадь основания \(S_{основания} = Q\). Найти: объём конуса \(V\).
Решение: Формула объёма конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Площадь основания конуса \(S_{основания} = \pi r^2\). Известно, что \(S_{основания} = Q\), следовательно \(Q = \pi r^2\), откуда \(r^2 = \frac{Q}{\pi}\). Подставим \(r^2\) в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Q}{\pi}\right) h = \frac{Qh}{3}\). Площадь боковой поверхности конуса \(S_{боковой} = \pi r l\). Известно, что \(S_{боковой} = P\), следовательно \(P = \pi r l\). Из \(Q = \pi r^2\) находим \(r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\). Подставим \(r\) в формулу для \(P\): \(P = \pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}} l\). Выразим \(l\): \(l = \frac{P}{\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{P}{\sqrt{\pi^2 \frac{Q}{\pi}}} = \frac{P}{\sqrt{Q \pi}}\). По теореме Пифагора для конуса \(h^2 + r^2 = l^2\), откуда \(h = \sqrt{l^2 — r^2}\). Подставим выражения для \(l\) и \(r\): \(h = \sqrt{\left(\frac{P}{\sqrt{Q \pi}}\right)^2 — \left(\sqrt{\frac{Q}{\pi}}\right)^2} = \sqrt{\frac{P^2}{Q \pi} — \frac{Q}{\pi}} = \sqrt{\frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\). Теперь подставим выражение для \(h\) в формулу объёма \(V = \frac{Qh}{3}\): \(V = \frac{Q}{3} \sqrt{\frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\). Внесем \(Q\) под знак квадратного корня, возведя его в квадрат: \(V = \frac{1}{3} \sqrt{Q^2 \cdot \frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q(P^2 — Q^2)}{\pi}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{QP^2 — Q^3}{\pi}}\). Ответ: \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{QP^2 — Q^3}{\pi}}\).
Дано: конус. Площадь боковой поверхности конуса \(S_{боковой} = P\). Площадь основания конуса \(S_{основания} = Q\).
Найти: Объём конуса \(V_{конуса}\).
Решение:
Объём конуса находится по формуле \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h\), где \(S_{основания}\) — площадь основания, а \(h\) — высота конуса. Также объём конуса можно выразить через радиус основания \(r\) и высоту \(h\) как \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
Площадь основания конуса представляет собой площадь круга и вычисляется по формуле \(S_{основания} = \pi r^2\). По условию, \(S_{основания} = Q\). Следовательно, мы имеем равенство \(Q = \pi r^2\). Из этого равенства мы можем выразить квадрат радиуса \(r^2\) через \(Q\): \(r^2 = \frac{Q}{\pi}\). Это позволит нам в дальнейшем подставить это выражение в формулу объёма.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{боковой} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — длина образующей конуса. По условию, \(S_{боковой} = P\). Следовательно, мы имеем равенство \(P = \pi r l\).
Теперь выразим радиус \(r\) из равенства для площади основания \(Q = \pi r^2\). Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \(r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\). Подставим это выражение для \(r\) в равенство для площади боковой поверхности \(P = \pi r l\): \(P = \pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}} l\).
Теперь выразим длину образующей \(l\) из этого уравнения. Разделим обе части на \(\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}\): \(l = \frac{P}{\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}}\). Упростим знаменатель: \(\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}} = \sqrt{\pi^2 \cdot \frac{Q}{\pi}} = \sqrt{Q \pi}\). Таким образом, длина образующей \(l = \frac{P}{\sqrt{Q \pi}}\).
Высота конуса \(h\), радиус основания \(r\) и длина образующей \(l\) связаны соотношением, основанным на теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, образованному высотой, радиусом и образующей: \(h^2 + r^2 = l^2\). Из этого соотношения выразим высоту \(h\): \(h^2 = l^2 — r^2\), следовательно, \(h = \sqrt{l^2 — r^2}\).
Подставим в это выражение найденные нами выражения для \(l\) и \(r\): \(h = \sqrt{\left(\frac{P}{\sqrt{Q \pi}}\right)^2 — \left(\sqrt{\frac{Q}{\pi}}\right)^2}\). Возведем в квадрат выражения под корнем: \(h = \sqrt{\frac{P^2}{Q \pi} — \frac{Q}{\pi}}\). Приведем дроби под корнем к общему знаменателю \(Q \pi\): \(h = \sqrt{\frac{P^2}{Q \pi} — \frac{Q \cdot Q}{Q \pi}} = \sqrt{\frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\).
Теперь у нас есть выражения для \(r^2\) и \(h\) через \(P\) и \(Q\). Подставим их в формулу объёма конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\): \(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{Q}{\pi}\right) \sqrt{\frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\).
Упростим выражение. \(\pi\) в числителе и знаменателе сокращается: \(V = \frac{1}{3} Q \sqrt{\frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\). Чтобы внести \(Q\) под знак квадратного корня, мы должны возвести его в квадрат: \(V = \frac{1}{3} \sqrt{Q^2 \cdot \frac{P^2 — Q^2}{Q \pi}}\). Теперь умножим выражения под корнем: \(V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q^2 (P^2 — Q^2)}{Q \pi}}\). Сократим \(Q\) в числителе и знаменателе под корнем: \(V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{Q (P^2 — Q^2)}{\pi}}\). Раскроем скобки в числителе под корнем: \(V = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{QP^2 — Q^3}{\pi}}\).
Таким образом, объём конуса выражается через площадь его основания \(Q\) и площадь боковой поверхности \(P\) как \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{QP^2 — Q^3}{\pi}}\).
Ответ: \(V_{конуса} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{QP^2 — Q^3}{\pi}}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.