ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 495 Атанасян — Подробные Ответы

Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см\(^3\).

В силу подобия конусов отношение их объемов равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров, таких как высоты. Таким образом, мы можем записать соотношение \(\frac{V_{большего}}{V_{меньшего}} = \left(\frac{h_{большего}}{h_{меньшего}}\right)^3\). Известно, что высота меньшего конуса \(h_{меньшего} = 2\) см, высота большего конуса \(h_{большего} = 5\) см, и объем меньшего конуса \(V_{меньшего} = 24\) см\(^3\). Подставляя эти значения в формулу, получаем \(\frac{V_{большего}}{24} = \left(\frac{5}{2}\right)^3\). Вычисляем куб отношения высот: \(\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}\). Теперь уравнение принимает вид \(\frac{V_{большего}}{24} = \frac{125}{8}\). Чтобы найти \(V_{большего}\), умножим обе части уравнения на \(24\): \(V_{большего} = 24 \cdot \frac{125}{8}\). Сокращаем \(24\) и \(8\): \(24 \div 8 = 3\). Получаем \(V_{большего} = 3 \cdot 125\). Произведение \(3\) и \(125\) равно \(375\). Следовательно, объем большего конуса \(V_{большего} = 375\) см\(^3\).

Задача состоит в нахождении объема большего конуса, зная высоту меньшего конуса, высоту большего конуса и объем меньшего конуса. В данном случае мы имеем два подобных конуса. Меньший конус отсечен от большего плоскостью, параллельной основанию большего конуса.

Свойство подобных геометрических тел гласит, что отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия для двух подобных конусов может быть найден как отношение их соответствующих линейных размеров, например, высот или радиусов оснований. В нашем случае нам известны высоты обоих конусов.

Обозначим высоту меньшего конуса как \(h_{меньшего}\), высоту большего конуса как \(h_{большего}\), объем меньшего конуса как \(V_{меньшего}\), и объем большего конуса как \(V_{большего}\). Согласно свойству подобия, отношение объемов этих конусов выражается формулой \(\frac{V_{большего}}{V_{меньшего}} = \left(\frac{h_{большего}}{h_{меньшего}}\right)^3\).

Из условия задачи нам даны следующие значения:
Высота меньшего конуса \(h_{меньшего} = 2\) см.
Высота большего конуса \(h_{большего} = 5\) см.
Объем меньшего конуса \(V_{меньшего} = 24\) см\(^3\).

Нам необходимо найти объем большего конуса \(V_{большего}\). Подставим известные значения в формулу отношения объемов:
\(\frac{V_{большего}}{24} = \left(\frac{5}{2}\right)^3\).

Теперь вычислим значение выражения в правой части уравнения, которое является кубом отношения высот. Чтобы возвести дробь в куб, нужно возвести в куб отдельно числитель и отдельно знаменатель:
\(\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3}\).
Вычисляем кубы чисел: \(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\).
Вычисляем кубы чисел: \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).
Таким образом, \(\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}\).

Теперь наше уравнение выглядит так:
\(\frac{V_{большего}}{24} = \frac{125}{8}\).

Чтобы найти \(V_{большего}\), необходимо умножить обе части этого уравнения на \(24\):
\(V_{большего} = 24 \cdot \frac{125}{8}\).

Для удобства вычисления можно сократить \(24\) и \(8\), поскольку \(24\) делится на \(8\): \(24 \div 8 = 3\).
Теперь уравнение упрощается до:
\(V_{большего} = 3 \cdot 125\).

Выполняем умножение: \(3 \times 125 = 375\).

Следовательно, объем большего конуса равен \(375\) см\(^3\).

Ответ: Объем большего конуса равен \(375\) см\(^3\).