Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 486 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объём \(V\) пирамиды можно вычислить по формуле \(V = \frac{1}{3} S \cdot r\), где \(S\) — площадь полной поверхности пирамиды, а \(r\) — радиус вписанного в пирамиду шара.
Дано: Пирамида с вписанным шаром радиуса \(r\), \(S\) — полная поверхность.
Доказать: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S \cdot r\).
Решение:
Рассмотрим пирамиду как объединение меньших пирамид с общей вершиной в центре вписанного шара. Основаниями этих меньших пирамид являются грани исходной пирамиды. Высота каждой такой меньшей пирамиды равна радиусу вписанного шара \(r\). Объем исходной пирамиды равен сумме объемов этих меньших пирамид. Объем одной такой меньшей пирамиды с основанием площадью \(A\) равен \(\frac{1}{3} A \cdot r\). Суммируя объемы всех таких пирамид, получаем \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_1 r + \frac{1}{3} S_2 r + \dots + \frac{1}{3} S_k r + \frac{1}{3} S_{\text{основания}} r\), где \(S_i\) — площади боковых граней, а \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания. Вынося \(\frac{1}{3} r\) за скобки, имеем \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} r (S_1 + S_2 + \dots + S_k + S_{\text{основания}})\). Сумма площадей всех граней \(S_1 + S_2 + \dots + S_k + S_{\text{основания}}\) есть полная поверхность пирамиды \(S\). Следовательно, \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S \cdot r\).
Ответ: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S \cdot r\).
Дано: Пирамида, в которую можно вписать шар. \(S\) — полная поверхность пирамиды, \(r\) — радиус вписанного шара.
Доказать: Объем пирамиды \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S \cdot r\).
Решение:
Известно, что объем любой пирамиды может быть вычислен по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания пирамиды, а \(h\) — ее высота.
Рассмотрим пирамиду, в которую можно вписать шар. Пусть основанием этой пирамиды является \(n\)-угольник. Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его \(O\), находится на высоте \(r\) от каждой грани пирамиды (как боковых, так и основания).
Мы можем представить исходную пирамиду как объединение \(n+1\) пирамид, каждая из которых имеет вершину в центре вписанного шара \(O\). Основаниями этих \(n+1\) пирамид являются грани исходной пирамиды: \(n\) боковых граней и одно основание.
Высота каждой из этих меньших пирамид, проведенная из вершины \(O\) к соответствующей грани, равна радиусу вписанного шара \(r\), поскольку центр вписанного шара равноудален от всех граней.
Объем исходной пирамиды \(V_{\text{пирамиды}}\) равен сумме объемов этих \(n+1\) меньших пирамид.
Пусть \(S_1, S_2, \dots, S_n\) — площади боковых граней исходной пирамиды, а \(S_{\text{основания}}\) — площадь ее основания. Объем \(i\)-й меньшей пирамиды, построенной на \(i\)-й боковой грани, равен \(\frac{1}{3} \cdot S_i \cdot r\). Объем меньшей пирамиды, построенной на основании, равен \(\frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot r\).
Таким образом, полный объем исходной пирамиды составляет:
\(V_{\text{пирамиды}} = \left(\frac{1}{3} S_1 r\right) + \left(\frac{1}{3} S_2 r\right) + \dots + \left(\frac{1}{3} S_n r\right) + \left(\frac{1}{3} S_{\text{основания}} r\right)\).
Вынесем общий множитель \(\frac{1}{3} r\) за скобки:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} r \left(S_1 + S_2 + \dots + S_n + S_{\text{основания}}\right)\).
Сумма площадей всех боковых граней \(S_1 + S_2 + \dots + S_n\) вместе с площадью основания \(S_{\text{основания}}\) составляет полную поверхность исходной пирамиды \(S\).
Следовательно, выражение в скобках равно \(S\).
Подставляя \(S\) обратно в формулу, получаем:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} r S\).
Это доказывает требуемую формулу.
Ответ: Объем пирамиды \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S \cdot r\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.