ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 482 Атанасян — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(m\) и составляет с плоскостью основания угол \(\phi\). Найдите объём пирамиды.

Решение: Объем пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h\).
В прямоугольном треугольнике ДКОС, где КО — высота пирамиды, ОС является проекцией бокового ребра КС на плоскость основания.
Дано \(KC = m\) и \(\angle OCK = \phi\).
Высота пирамиды \(h = KO = KC \cdot \sin(\phi) = m \sin(\phi)\).
Отрезок \(OC = KC \cdot \cos(\phi) = m \cos(\phi)\).
Поскольку основание ABCD — квадрат, AC является его диагональю, и \(AC = 2 \cdot OC = 2 m \cos(\phi)\).
Площадь основания \(S_{\text{основания}} = S_{\text{ABCD}} = \frac{AC^2}{2} = \frac{(2 m \cos(\phi))^2}{2} = \frac{4 m^2 \cos^2(\phi)}{2} = 2 m^2 \cos^2(\phi)\).
Подставляем значения площади основания и высоты в формулу объема пирамиды:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot (2 m^2 \cos^2(\phi)) \cdot (m \sin(\phi)) = \frac{2 m^3 \cos^2(\phi) \sin(\phi)}{3}\).
Используя формулу двойного угла для синуса \(\sin(2\phi) = 2 \sin(\phi) \cos(\phi)\), преобразуем выражение:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{m^3}{3} \cdot (2 \sin(\phi) \cos(\phi)) \cdot \cos(\phi) = \frac{m^3 \sin(2\phi) \cos(\phi)}{3}\).
Ответ: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{m^3 \sin(2\phi) \cos(\phi)}{3}\).

Решение:
Объем пирамиды \(V\) определяется формулой \(V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.

В данной правильной четырехугольной пирамиде ABCDK основанием является квадрат ABCD, а высота КО опущена в центр основания О. Боковое ребро СК равно \(m\), и угол между боковым ребром СК и плоскостью основания (углом LOCK) равен \(\phi\). В данном случае, угол между боковым ребром СК и его проекцией ОС на плоскость основания ABCD — это угол \(\angle OCK = \phi\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник KOC. В этом треугольнике:
— Гипотенуза KC = \(m\).
— Катет KO является высотой пирамиды \(h\).
— Катет OC является половиной диагонали основания AC, так как О — центр квадрата.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике KOC:
Высота пирамиды \(h = KO = KC \cdot \sin(\angle OCK) = m \sin(\phi)\).
Длина отрезка \(OC = KC \cdot \cos(\angle OCK) = m \cos(\phi)\).

Основание пирамиды — квадрат ABCD. Точка О является центром квадрата, поэтому ОС — это половина диагонали AC.
Длина диагонали основания \(AC = 2 \cdot OC = 2 \cdot (m \cos(\phi)) = 2m \cos(\phi)\).

Площадь квадрата можно найти по формуле \(S = a^2\), где \(a\) — сторона квадрата, или через диагональ \(d\) по формуле \(S = \frac{d^2}{2}\). Используем формулу через диагональ AC:
Площадь основания \(S_{\text{основания}} = S_{\text{ABCD}} = \frac{AC^2}{2} = \frac{(2m \cos(\phi))^2}{2} = \frac{4m^2 \cos^2(\phi)}{2} = 2m^2 \cos^2(\phi)\).

Теперь подставим найденные значения площади основания \(S_{\text{основания}}\) и высоты \(h\) в формулу объема пирамиды:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (2m^2 \cos^2(\phi)) \cdot (m \sin(\phi))\).
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{2 m^2 \cos^2(\phi) \cdot m \sin(\phi)}{3} = \frac{2 m^3 \cos^2(\phi) \sin(\phi)}{3}\).

Для того чтобы привести ответ к виду, представленному в примере, воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(\sin(2\phi) = 2 \sin(\phi) \cos(\phi)\).
Перегруппируем множители в выражении для объема:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{m^3}{3} \cdot (2 \cos(\phi) \sin(\phi)) \cdot \cos(\phi)\).
Заменяем \(2 \sin(\phi) \cos(\phi)\) на \(\sin(2\phi)\):
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{m^3}{3} \cdot \sin(2\phi) \cdot \cos(\phi) = \frac{m^3 \sin(2\phi) \cos(\phi)}{3}\).

Таким образом, объем пирамиды равен \(\frac{m^3 \sin(2\phi) \cos(\phi)}{3}\).
Ответ: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{m^3 \sin(2\phi) \cos(\phi)}{3}\).