Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 477 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите объём пирамиды с высотой \(h\), если: а) \(h = 2\) м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м; б) \(h = 2,2\) м, а основанием служит треугольник АВС, в котором \(АВ = 20\) см, \(ВС = 13,5\) см, \(\angle ABC = 30°\).
Решение:
Объём пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{основания} h\).
а) Для пирамиды с основанием-квадратом со стороной 3 м и высотой \(h = 2\) м, площадь основания равна \(S_{основания} = a^2 = 3^2 = 9\) м². Объём равен \(V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6\) м³.
б) Для пирамиды с основанием-треугольником ABC, где \(AB = 20\) см, \(BC = 13,5\) см, \(\angle ABC = 30°\) и высотой \(h = 220\) см, площадь основания равна \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13,5 \cdot \sin(30°) = \)
\(=\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13,5 \cdot \frac{1}{2} = 10 \cdot 13,5 \cdot 0,5 = 67,5\) см². Объём равен \(V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 67,5 \cdot 220 = 22,5 \cdot 220 = 4950\) см³.
Ответ: а) \(V_{пирамиды} = 6\) м³, б) \(V_{пирамиды} = 4950\) см³.
Решение:
Для нахождения объёма пирамиды используется формула \(V = \frac{1}{3} S_{основания} h\), где \(S_{основания}\) — площадь основания пирамиды, а \(h\) — её высота.
а) В первом случае дано, что высота пирамиды \(h = 2\) м, а основанием является квадрат со стороной 3 м. Сначала необходимо найти площадь основания. Площадь квадрата со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(S_{квадрата} = a^2\). Подставляя значение стороны, получаем \(S_{основания} = 3^2 = 9\) м². Теперь, используя формулу объёма пирамиды, подставляем найденную площадь основания и заданную высоту: \(V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2\). Выполняя умножение, находим объём: \(V_{пирамиды} = 3 \cdot 2 = 6\) м³.
б) Во втором случае дано, что высота пирамиды \(h = 2,2\) м. Для удобства расчетов переведем высоту в сантиметры, так как размеры основания даны в сантиметрах: \(h = 2,2 \cdot 100 = 220\) см. Основанием является треугольник АВС, в котором известны две стороны \(АВ = 20\) см, \(ВС = 13,5\) см и угол между ними \(\angle ABC = 30°\). Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\). Подставляем известные значения: \(S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13,5 \cdot \sin(30°)\). Значение синуса 30 градусов равно \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\). Подставляем это значение: \(S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 13,5 \cdot \frac{1}{2}\). Выполняем умножение для нахождения площади основания: \(S_{основания} = 10 \cdot 13,5 \cdot 0,5 = 67,5\) см². Теперь, используя формулу объёма пирамиды, подставляем найденную площадь основания и высоту: \(V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 67,5 \cdot 220\). Выполняем умножение: \(V_{пирамиды} = 22,5 \cdot 220 = 4950\) см³.
Ответ: а) \(V_{пирамиды} = 6\) м³, б) \(V_{пирамиды} = 4950\) см³.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.