Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 475 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.
Приведем доказательство данного факта. Если разрезать предмет на части и сложить из него другой предмет, оба предмета будут иметь разную форму, но одинаковый объем. Проведем сечение, перпендикулярное ребру. Очевидно, что совместив две части, мы получим новую фигуру, прямую призму, с основанием, равным площади сечения \(S\), и высотой, равной длине бокового ребра \(l\). Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть \(V_{\text{призмы прямой}} = S \cdot l\). Поскольку объем не изменился при преобразовании, объем исходной наклонной призмы также равен \(V_{\text{призмы}} = S \cdot l\), что и требовалось доказать. Ответ: \(V_{\text{призмы}} = S \cdot l\).
Рассмотрим наклонную призму с боковым ребром длиной \(l\). Проведем сечение плоскостью, перпендикулярной всем боковым ребрам этой призмы. Обозначим площадь этого сечения как \(S\). Требуется доказать, что объем призмы \(V_{\text{призмы}}\) равен произведению площади этого сечения на длину бокового ребра, то есть \(V_{\text{призмы}} = S \cdot l\).
Для доказательства воспользуемся принципом, который можно проиллюстрировать следующим образом: если тело разрезать на части и затем собрать эти части в другое тело, то объемы исходного и нового тел будут равны, независимо от их формы, при условии, что каждый «слой» или «срез» исходного тела соответствует «слою» или «срезу» нового тела с той же площадью. В данном случае мы можем «преобразовать» наклонную призму в прямую призму, не изменяя ее объема.
Представим, что мы «отрезаем» верхнюю часть наклонной призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам, проходящей через одну из вершин нижнего основания. Эта плоскость образует то самое сечение площадью \(S\). Оставшаяся нижняя часть призмы имеет одно основание и наклонную «крышу». Верхняя «отрезанная» часть представляет собой клин.
Теперь представим, что мы можем «сдвинуть» или «переместить» эту верхнюю «отрезанную» часть таким образом, чтобы ее наклонная «крыша» стала параллельна нижнему основанию исходной призмы, а плоскость сечения площадью \(S\) стала верхним основанием новой фигуры. При этом боковые ребра исходной призмы, имеющие длину \(l\), станут высотой новой фигуры, поскольку сечение было перпендикулярно этим ребрам.
В результате такого «перемещения» частей мы получим новую геометрическую фигуру. Основанием этой новой фигуры будет являться сечение площадью \(S\), которое мы провели перпендикулярно боковым ребрам. Боковые ребра исходной призмы, имеющие длину \(l\), станут перпендикулярны основанию новой фигуры, поскольку сечение было перпендикулярно им. Следовательно, новая фигура является прямой призмой.
Объем прямой призмы определяется как произведение площади ее основания на ее высоту. В нашем случае основанием новой прямой призмы является сечение площадью \(S\), а ее высота равна длине бокового ребра исходной наклонной призмы, то есть \(l\). Таким образом, объем новой прямой призмы равен \(V_{\text{прямой призмы}} = S \cdot l\).
Поскольку мы просто «пересобрали» части исходной наклонной призмы, не добавляя и не удаляя материал, объем новой прямой призмы равен объему исходной наклонной призмы. Следовательно, объем наклонной призмы равен \(V_{\text{призмы}} = V_{\text{прямой призмы}} = S \cdot l\).
Таким образом, доказано, что объем наклонной призмы равен произведению площади сечения, перпендикулярного боковым ребрам, на длину бокового ребра.
Ответ: \(V_{\text{призмы}} = S \cdot l\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.