ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 472 Атанасян — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник АВС с катетами \(АВ = 7\) см и \(АС = 24\) см. Вершина \(А_1\) равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объём призмы, если ребро \(АА_1\) составляет с плоскостью основания угол в 45°.

Высота призмы \(A_1O\) опускается в центр основания \(O\). Треугольник \(ABC\) равносторонний со стороной \(m\). Высота и медиана \(AH\) в равностороннем треугольнике равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}m\). Центр \(O\) делит медиану в отношении 2:1, поэтому \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{m}{\sqrt{3}}\). В прямоугольном треугольнике \(OAA_1\) высота призмы \(A_1O = AO \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\). Площадь основания \(S_{\text{основания}} = S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2\). Объем призмы \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot A_1O = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).

Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).

По условию дано, что призма \(ABCA_1B_1C_1\) является наклонной, основанием является равносторонний треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = BC = CA = m\). Также дано, что вершина \(A_1\) проектируется в центр \(O\) основания \(ABC\), что означает \(A_1O\) является высотой призмы и \(A_1O \perp ABC\). Угол между ребром \(AA_1\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(\angle OAA_1 = \phi\). Необходимо найти объем призмы \(V_{\text{призмы}}\).

Первым шагом найдем расстояние от вершины \(A\) до центра \(O\) равностороннего треугольника \(ABC\). В равностороннем треугольнике центр \(O\) совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Рассмотрим медиану \(AH\) из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Длина медианы \(AH\) в равностороннем треугольнике со стороной \(m\) равна \(AH = \frac{\sqrt{3}}{2}m\). Центр \(O\) делит медиану \(AH\) в отношении 2:1, считая от вершины, то есть \(AO : OH = 2 : 1\). Следовательно, \(AO = \frac{2}{3}AH\). Подставляя значение \(AH\), получаем \(AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{\sqrt{3}}{3}m = \frac{m}{\sqrt{3}}\).

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник \(OAA_1\). Угол \(\angle AOA_1\) прямой, так как \(A_1O\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\), а \(AO\) лежит в этой плоскости. В этом прямоугольном треугольнике нам известен угол \(\angle OAA_1 = \phi\) и катет \(AO = \frac{m}{\sqrt{3}}\). Высота призмы \(A_1O\) является катетом, противолежащим углу \(\phi\). Используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике, имеем \(\text{tg}(\phi) = \frac{A_1O}{AO}\). Отсюда выразим высоту призмы \(A_1O = AO \cdot \text{tg}(\phi)\). Подставляя значение \(AO\), получаем \(A_1O = \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\).

Теперь найдем площадь основания призмы. Основанием является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\). Площадь равностороннего треугольника со стороной \(m\) равна \(S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2\).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot A_1O\). Подставляя найденные значения площади основания и высоты призмы, получаем \(V_{\text{призмы}} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\). Сокращая \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе, получаем \(V_{\text{призмы}} = \frac{1}{4}m^2 \cdot m \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).

Таким образом, объем призмы равен \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).

Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).