Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 471 Атанасян — Подробные Ответы
Основанием призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равносторонний треугольник АВС со стороной \(m\). Вершина \(А_1\) проектируется в центр этого основания, а ребро \(АА_1\) составляет с плоскостью основания угол \(\phi\). Найдите объём призмы.
Высота призмы \(A_1O\) опускается в центр основания \(O\). Треугольник \(ABC\) равносторонний со стороной \(m\). Высота и медиана \(AH\) в равностороннем треугольнике равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}m\). Центр \(O\) делит медиану в отношении 2:1, поэтому \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{m}{\sqrt{3}}\). В прямоугольном треугольнике \(OAA_1\) высота призмы \(A_1O = AO \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\). Площадь основания \(S_{\text{основания}} = S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2\). Объем призмы \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot A_1O = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).
Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).
По условию дано, что призма \(ABCA_1B_1C_1\) является наклонной, основанием является равносторонний треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = BC = CA = m\). Также дано, что вершина \(A_1\) проектируется в центр \(O\) основания \(ABC\), что означает \(A_1O\) является высотой призмы и \(A_1O \perp ABC\). Угол между ребром \(AA_1\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(\angle OAA_1 = \phi\). Необходимо найти объем призмы \(V_{\text{призмы}}\).
Первым шагом найдем расстояние от вершины \(A\) до центра \(O\) равностороннего треугольника \(ABC\). В равностороннем треугольнике центр \(O\) совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Рассмотрим медиану \(AH\) из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Длина медианы \(AH\) в равностороннем треугольнике со стороной \(m\) равна \(AH = \frac{\sqrt{3}}{2}m\). Центр \(O\) делит медиану \(AH\) в отношении 2:1, считая от вершины, то есть \(AO : OH = 2 : 1\). Следовательно, \(AO = \frac{2}{3}AH\). Подставляя значение \(AH\), получаем \(AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{\sqrt{3}}{3}m = \frac{m}{\sqrt{3}}\).
Далее рассмотрим прямоугольный треугольник \(OAA_1\). Угол \(\angle AOA_1\) прямой, так как \(A_1O\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\), а \(AO\) лежит в этой плоскости. В этом прямоугольном треугольнике нам известен угол \(\angle OAA_1 = \phi\) и катет \(AO = \frac{m}{\sqrt{3}}\). Высота призмы \(A_1O\) является катетом, противолежащим углу \(\phi\). Используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике, имеем \(\text{tg}(\phi) = \frac{A_1O}{AO}\). Отсюда выразим высоту призмы \(A_1O = AO \cdot \text{tg}(\phi)\). Подставляя значение \(AO\), получаем \(A_1O = \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\).
Теперь найдем площадь основания призмы. Основанием является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\). Площадь равностороннего треугольника со стороной \(m\) равна \(S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2\).
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot A_1O\). Подставляя найденные значения площади основания и высоты призмы, получаем \(V_{\text{призмы}} = \frac{\sqrt{3}}{4}m^2 \cdot \frac{m}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg}(\phi)\). Сокращая \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе, получаем \(V_{\text{призмы}} = \frac{1}{4}m^2 \cdot m \cdot \text{tg}(\phi) = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).
Таким образом, объем призмы равен \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).
Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{m^3}{4} \text{tg}(\phi)\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.