Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 468 Атанасян — Подробные Ответы
Фигура, заштрихованная на рисунке 148, вращается вокруг оси Оу. Найдите объём полученного тела.
Объем фигуры вращения находится по формуле \(V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx\).
В данном случае, согласно приведенному решению, рассматривается вращение фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2\), осью абсцисс и прямыми \(x=0\) и \(x=1\), вокруг оси абсцисс.
Тогда объем вычисляется как интеграл:
\(V = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 dx\)
\(V = \pi \int_{0}^{1} x^4 dx\)
Вычисляем интеграл:
\(V = \pi \left[ \frac{x^{4+1}}{4+1} \right]_{0}^{1}\)
\(V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(V = \pi \left( \frac{1^5}{5} — \frac{0^5}{5} \right)\)
\(V = \pi \left( \frac{1}{5} — 0 \right)\)
\(V = \frac{\pi}{5}\)
Таким образом, объем фигуры вращения равен \(\frac{\pi}{5}\).
Для нахождения объема фигуры вращения вокруг оси ОУ, ограниченной кривой \(y = \sqrt{x}\), осью абсцисс и прямой \(x=1\), мы можем воспользоваться принципом симметрии, как предложено в исходном решении. Фигура, образованная вращением области под кривой \(y = \sqrt{x}\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОУ, имеет тот же объем, что и фигура, образованная вращением области под кривой \(y = x^2\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОХ. Это связано с тем, что функция \(y=x^2\) является обратной к функции \(y=\sqrt{x}\) для \(x \ge 0\), и области под этими кривыми в пределах от 0 до 1 по соответствующим осям симметричны относительно прямой \(y=x\). Вращение симметричной области вокруг симметричной оси приводит к равным объемам.
Таким образом, задача сводится к нахождению объема тела, образованного вращением области под графиком функции \(y = x^2\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОХ. Для этого используем формулу объема тела вращения вокруг оси ОХ: \(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\).
В нашем случае функция \(f(x) = x^2\), нижний предел интегрирования \(a=0\), а верхний предел интегрирования \(b=1\). Подставляем эти значения в формулу:
\(V_{\text{фигуры}} = \int_{0}^{1} \pi \cdot (x^2)^2 dx\)
Упростим подынтегральное выражение: \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Получаем интеграл:
\(V_{\text{фигуры}} = \int_{0}^{1} \pi \cdot x^4 dx\)
Константу \(\pi\) можно вынести за знак интеграла:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \int_{0}^{1} x^4 dx\)
Теперь вычислим неопределенный интеграл от \(x^4\). Используя правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), получаем:
\(\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}\)
Теперь вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}\)
Согласно формуле Ньютона-Лейбница, \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) — F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). Подставляем пределы:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left( \frac{1^5}{5} — \frac{0^5}{5} \right)\)
Вычисляем значения степеней: \(1^5 = 1\) и \(0^5 = 0\).
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left( \frac{1}{5} — 0 \right)\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \cdot \frac{1}{5}\)
Окончательно получаем объем фигуры вращения:
\(V_{\text{фигуры}} = \frac{\pi}{5}\)
Ответ: Объем фигуры равен \(\frac{\pi}{5}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.