ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 468 Атанасян — Подробные Ответы

Фигура, заштрихованная на рисунке 148, вращается вокруг оси Оу. Найдите объём полученного тела.

Объем фигуры вращения находится по формуле \(V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx\).

В данном случае, согласно приведенному решению, рассматривается вращение фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2\), осью абсцисс и прямыми \(x=0\) и \(x=1\), вокруг оси абсцисс.
Тогда объем вычисляется как интеграл:
\(V = \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 dx\)
\(V = \pi \int_{0}^{1} x^4 dx\)
Вычисляем интеграл:
\(V = \pi \left[ \frac{x^{4+1}}{4+1} \right]_{0}^{1}\)
\(V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(V = \pi \left( \frac{1^5}{5} — \frac{0^5}{5} \right)\)
\(V = \pi \left( \frac{1}{5} — 0 \right)\)
\(V = \frac{\pi}{5}\)
Таким образом, объем фигуры вращения равен \(\frac{\pi}{5}\).

Для нахождения объема фигуры вращения вокруг оси ОУ, ограниченной кривой \(y = \sqrt{x}\), осью абсцисс и прямой \(x=1\), мы можем воспользоваться принципом симметрии, как предложено в исходном решении. Фигура, образованная вращением области под кривой \(y = \sqrt{x}\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОУ, имеет тот же объем, что и фигура, образованная вращением области под кривой \(y = x^2\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОХ. Это связано с тем, что функция \(y=x^2\) является обратной к функции \(y=\sqrt{x}\) для \(x \ge 0\), и области под этими кривыми в пределах от 0 до 1 по соответствующим осям симметричны относительно прямой \(y=x\). Вращение симметричной области вокруг симметричной оси приводит к равным объемам.

Таким образом, задача сводится к нахождению объема тела, образованного вращением области под графиком функции \(y = x^2\) от \(x=0\) до \(x=1\) вокруг оси ОХ. Для этого используем формулу объема тела вращения вокруг оси ОХ: \(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\).

В нашем случае функция \(f(x) = x^2\), нижний предел интегрирования \(a=0\), а верхний предел интегрирования \(b=1\). Подставляем эти значения в формулу:
\(V_{\text{фигуры}} = \int_{0}^{1} \pi \cdot (x^2)^2 dx\)

Упростим подынтегральное выражение: \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Получаем интеграл:
\(V_{\text{фигуры}} = \int_{0}^{1} \pi \cdot x^4 dx\)

Константу \(\pi\) можно вынести за знак интеграла:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \int_{0}^{1} x^4 dx\)

Теперь вычислим неопределенный интеграл от \(x^4\). Используя правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), получаем:
\(\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}\)

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1}\)

Согласно формуле Ньютона-Лейбница, \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) — F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). Подставляем пределы:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left( \frac{1^5}{5} — \frac{0^5}{5} \right)\)

Вычисляем значения степеней: \(1^5 = 1\) и \(0^5 = 0\).
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \left( \frac{1}{5} — 0 \right)\)

Упрощаем выражение в скобках:
\(V_{\text{фигуры}} = \pi \cdot \frac{1}{5}\)

Окончательно получаем объем фигуры вращения:
\(V_{\text{фигуры}} = \frac{\pi}{5}\)

Ответ: Объем фигуры равен \(\frac{\pi}{5}\).