Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 466 Атанасян — Подробные Ответы
Сечение тела, изображённого на рисунке 146, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой \(x\), является квадратом, сторона которого равна \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). Найдите объём этого тела.
Объем тела находится по формуле \(V = \int_{a}^{b} S(x) dx\), где \(S(x)\) — площадь поперечного сечения. Сечение является квадратом со стороной \(\frac{1}{x}\), поэтому площадь сечения \(S(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}\). Пределы интегрирования от 1 до 2. Тогда объем \(V = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2} x^{-2} dx\). Вычисляя интеграл, получаем \([-x^{-1}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} — (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\). Ответ: объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).
Для нахождения объема тела, если известна площадь его поперечного сечения \(S(x)\) в каждой точке \(x\) на интервале от \(a\) до \(b\), используется формула \(V = \int_{a}^{b} S(x) dx\).
В данной задаче нам дано, что сечение фигуры плоскостью, перпендикулярной к оси \(Ox\) в точке с абсциссой \(x\), является квадратом со стороной, равной \(\frac{1}{x}\). Площадь квадрата со стороной \(s\) равна \(s^2\). Следовательно, площадь поперечного сечения в точке \(x\) составляет \(S(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}\).
Из условия и рисунка видно, что тело простирается вдоль оси \(Ox\) от \(x=1\) до \(x=2\). Таким образом, пределы интегрирования равны \(a=1\) и \(b=2\).
Теперь мы можем записать определенный интеграл для вычисления объема: \(V = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx\).
Для вычисления этого интеграла перепишем подынтегральную функцию как \(x^{-2}\). Интеграл от \(x^n\) (при \(n \neq -1\)) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). В нашем случае \(n=-2\), поэтому первообразная для \(x^{-2}\) равна \(\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\).
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) — F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). В нашем случае \(f(x) = x^{-2}\) и \(F(x) = -\frac{1}{x}\).
Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \(V = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) — \left(-\frac{1}{1}\right)\).
Выполняем вычитание: \(V = -\frac{1}{2} — (-1) = -\frac{1}{2} + 1\).
Приводим к общему знаменателю и складываем: \(V = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).
Ответ: объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.