ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 466 Атанасян — Подробные Ответы

Сечение тела, изображённого на рисунке 146, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой \(x\), является квадратом, сторона которого равна \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). Найдите объём этого тела.

Объем тела находится по формуле \(V = \int_{a}^{b} S(x) dx\), где \(S(x)\) — площадь поперечного сечения. Сечение является квадратом со стороной \(\frac{1}{x}\), поэтому площадь сечения \(S(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}\). Пределы интегрирования от 1 до 2. Тогда объем \(V = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2} x^{-2} dx\). Вычисляя интеграл, получаем \([-x^{-1}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} — (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\). Ответ: объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).

Для нахождения объема тела, если известна площадь его поперечного сечения \(S(x)\) в каждой точке \(x\) на интервале от \(a\) до \(b\), используется формула \(V = \int_{a}^{b} S(x) dx\).

В данной задаче нам дано, что сечение фигуры плоскостью, перпендикулярной к оси \(Ox\) в точке с абсциссой \(x\), является квадратом со стороной, равной \(\frac{1}{x}\). Площадь квадрата со стороной \(s\) равна \(s^2\). Следовательно, площадь поперечного сечения в точке \(x\) составляет \(S(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}\).

Из условия и рисунка видно, что тело простирается вдоль оси \(Ox\) от \(x=1\) до \(x=2\). Таким образом, пределы интегрирования равны \(a=1\) и \(b=2\).

Теперь мы можем записать определенный интеграл для вычисления объема: \(V = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx\).

Для вычисления этого интеграла перепишем подынтегральную функцию как \(x^{-2}\). Интеграл от \(x^n\) (при \(n \neq -1\)) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). В нашем случае \(n=-2\), поэтому первообразная для \(x^{-2}\) равна \(\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) — F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\). В нашем случае \(f(x) = x^{-2}\) и \(F(x) = -\frac{1}{x}\).

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования: \(V = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) — \left(-\frac{1}{1}\right)\).

Выполняем вычитание: \(V = -\frac{1}{2} — (-1) = -\frac{1}{2} + 1\).

Приводим к общему знаменателю и складываем: \(V = -\frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}\).

Таким образом, объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).

Ответ: объем фигуры равен \(\frac{1}{2}\).