Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 465 Атанасян — Подробные Ответы
В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна \(h\).
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h_{\text{цилиндра}}\). Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть \(h_{\text{цилиндра}} = h\). Поскольку основание прямоугольной призмы вписано в основание цилиндра, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром основания цилиндра. В прямоугольном треугольнике с катетом \(a\) и прилежащим углом \(\alpha\), гипотенуза равна \(d = \frac{a}{\cos(\alpha)}\). Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: \(r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}\). Подставляя радиус и высоту в формулу объёма цилиндра, получаем \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} h = \frac{\pi h a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).
Ответ: \(V_{\text{цилиндра}} = \frac{\pi h a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).
Объем цилиндра определяется как произведение площади его основания на высоту, что выражается формулой \(V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{цилиндра}}\). Поскольку основание цилиндра представляет собой круг, его площадь равна \(\pi r^2\), где \(r\) — радиус основания. Высота цилиндра совпадает с высотой вписанной призмы, которая по условию равна \(h\). Таким образом, формула для объема цилиндра принимает вид \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 \cdot h\).
Основание призмы — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром этой окружности. В данном треугольнике известен катет \(a\) и прилежащий к нему угол \(\alpha\). Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, гипотенуза может быть найдена как отношение прилежащего катета к косинусу угла, то есть гипотенуза равна \(\frac{a}{\cos(\alpha)}\).
Следовательно, диаметр основания цилиндра \(d_{\text{цилиндра}}\) равен гипотенузе треугольника: \(d_{\text{цилиндра}} = \frac{a}{\cos(\alpha)}\). Радиус основания цилиндра \(r\) равен половине диаметра: \(r = \frac{d_{\text{цилиндра}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}\).
Подставляя полученное выражение для радиуса \(r\) в формулу объема цилиндра \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 \cdot h\), получаем \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 \cdot h\). Возводя в квадрат, находим \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot \frac{a^2}{(2\cos(\alpha))^2} \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} \cdot h\). Таким образом, объем цилиндра равен \(V_{\text{цилиндра}} = \frac{\pi \cdot h \cdot a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.