ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 465 Атанасян — Подробные Ответы

В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна \(h\).

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h_{\text{цилиндра}}\). Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть \(h_{\text{цилиндра}} = h\). Поскольку основание прямоугольной призмы вписано в основание цилиндра, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром основания цилиндра. В прямоугольном треугольнике с катетом \(a\) и прилежащим углом \(\alpha\), гипотенуза равна \(d = \frac{a}{\cos(\alpha)}\). Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: \(r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}\). Подставляя радиус и высоту в формулу объёма цилиндра, получаем \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 h = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} h = \frac{\pi h a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).

Ответ: \(V_{\text{цилиндра}} = \frac{\pi h a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).

Объем цилиндра определяется как произведение площади его основания на высоту, что выражается формулой \(V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{цилиндра}}\). Поскольку основание цилиндра представляет собой круг, его площадь равна \(\pi r^2\), где \(r\) — радиус основания. Высота цилиндра совпадает с высотой вписанной призмы, которая по условию равна \(h\). Таким образом, формула для объема цилиндра принимает вид \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 \cdot h\).

Основание призмы — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром этой окружности. В данном треугольнике известен катет \(a\) и прилежащий к нему угол \(\alpha\). Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, гипотенуза может быть найдена как отношение прилежащего катета к косинусу угла, то есть гипотенуза равна \(\frac{a}{\cos(\alpha)}\).

Следовательно, диаметр основания цилиндра \(d_{\text{цилиндра}}\) равен гипотенузе треугольника: \(d_{\text{цилиндра}} = \frac{a}{\cos(\alpha)}\). Радиус основания цилиндра \(r\) равен половине диаметра: \(r = \frac{d_{\text{цилиндра}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}\).

Подставляя полученное выражение для радиуса \(r\) в формулу объема цилиндра \(V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 \cdot h\), получаем \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 \cdot h\). Возводя в квадрат, находим \(V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot \frac{a^2}{(2\cos(\alpha))^2} \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)} \cdot h\). Таким образом, объем цилиндра равен \(V_{\text{цилиндра}} = \frac{\pi \cdot h \cdot a^2}{4\cos^2(\alpha)}\).