ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 464 Атанасян — Подробные Ответы

В цилиндр вписана правильная \(n\)-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) \(n = 3\); б) \(n = 4\); в) \(n = 6\); г) \(n = 8\); д) \(n\) — произвольное целое число.

Отношение объёмов призмы и цилиндра равно отношению площадей их оснований, так как высоты равны. Площадь основания правильной \(n\)-угольной призмы, вписанной в окружность радиуса \(R\), равна \(S_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)\). Площадь основания цилиндра равна \(S_{\text{цилиндра}} = \pi R^2\). Отношение объёмов: \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).

д) Для произвольного \(n\): \(\frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
а) Для \(n = 3\): \(\frac{3 \cdot \sin(120^\circ)}{2\pi} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\).
б) Для \(n = 4\): \(\frac{4 \cdot \sin(90^\circ)}{2\pi} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}\).
в) Для \(n = 6\): \(\frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{2\pi} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\).
г) Для \(n = 8\): \(\frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{2\pi} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\).

Дано: В цилиндр вписана правильная \(n\)-угольная призма.
Найти: Отношение объёмов призмы и цилиндра \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}\) для различных значений \(n\).

Решение:
Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту, а объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты одинаковы. Обозначим высоту через \(h\). Площадь основания призмы обозначим как \(S_{\text{призмы}}\), а площадь основания цилиндра как \(S_{\text{цилиндра}}\).
Тогда объём призмы: \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{призмы}} \cdot h\).
Объём цилиндра: \(V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{цилиндра}} \cdot h\).
Отношение объёмов равно отношению площадей оснований: \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{S_{\text{призмы}} \cdot h}{S_{\text{цилиндра}} \cdot h} = \frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}}\).

Основанием призмы является правильный \(n\)-угольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\). Этот же радиус является радиусом описанной окружности для правильного \(n\)-угольника в основании призмы.
Площадь правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), можно найти по формуле: \(S_{n\text{-угольника}} = \frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)\).
Площадь основания цилиндра (круг радиуса \(R\)) равна: \(S_{\text{цилиндра}} = \pi R^2\).

Теперь подставим эти площади в формулу для отношения объёмов:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi R^2}\).
Сократим \(R^2\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
Это общая формула для отношения объёмов для любого целого \(n \ge 3\).

Теперь вычислим отношение для конкретных значений \(n\):

д) Для произвольного \(n\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).

а) Для \(n = 3\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{3 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{3}\right)}{2\pi} = \frac{3 \cdot \sin(120^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\).

б) Для \(n = 4\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right)}{2\pi} = \frac{4 \cdot \sin(90^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi}\).

в) Для \(n = 6\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{6 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{6}\right)}{2\pi} = \frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\).

г) Для \(n = 8\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{8 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{8}\right)}{2\pi} = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\).

Ответы для каждого случая совпадают с примером.