Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 464 Атанасян — Подробные Ответы
В цилиндр вписана правильная \(n\)-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) \(n = 3\); б) \(n = 4\); в) \(n = 6\); г) \(n = 8\); д) \(n\) — произвольное целое число.
Отношение объёмов призмы и цилиндра равно отношению площадей их оснований, так как высоты равны. Площадь основания правильной \(n\)-угольной призмы, вписанной в окружность радиуса \(R\), равна \(S_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)\). Площадь основания цилиндра равна \(S_{\text{цилиндра}} = \pi R^2\). Отношение объёмов: \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
д) Для произвольного \(n\): \(\frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
а) Для \(n = 3\): \(\frac{3 \cdot \sin(120^\circ)}{2\pi} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\).
б) Для \(n = 4\): \(\frac{4 \cdot \sin(90^\circ)}{2\pi} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}\).
в) Для \(n = 6\): \(\frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{2\pi} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\).
г) Для \(n = 8\): \(\frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{2\pi} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\).
Дано: В цилиндр вписана правильная \(n\)-угольная призма.
Найти: Отношение объёмов призмы и цилиндра \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}\) для различных значений \(n\).
Решение:
Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту, а объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Поскольку призма вписана в цилиндр, их высоты одинаковы. Обозначим высоту через \(h\). Площадь основания призмы обозначим как \(S_{\text{призмы}}\), а площадь основания цилиндра как \(S_{\text{цилиндра}}\).
Тогда объём призмы: \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{призмы}} \cdot h\).
Объём цилиндра: \(V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{цилиндра}} \cdot h\).
Отношение объёмов равно отношению площадей оснований: \(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{S_{\text{призмы}} \cdot h}{S_{\text{цилиндра}} \cdot h} = \frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}}\).
Основанием призмы является правильный \(n\)-угольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\). Этот же радиус является радиусом описанной окружности для правильного \(n\)-угольника в основании призмы.
Площадь правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), можно найти по формуле: \(S_{n\text{-угольника}} = \frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)\).
Площадь основания цилиндра (круг радиуса \(R\)) равна: \(S_{\text{цилиндра}} = \pi R^2\).
Теперь подставим эти площади в формулу для отношения объёмов:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} R^2 \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi R^2}\).
Сократим \(R^2\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{\pi} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
Это общая формула для отношения объёмов для любого целого \(n \ge 3\).
Теперь вычислим отношение для конкретных значений \(n\):
д) Для произвольного \(n\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)}{2\pi}\).
а) Для \(n = 3\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{3 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{3}\right)}{2\pi} = \frac{3 \cdot \sin(120^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ — 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\).
б) Для \(n = 4\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right)}{2\pi} = \frac{4 \cdot \sin(90^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi}\).
в) Для \(n = 6\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{6 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{6}\right)}{2\pi} = \frac{6 \cdot \sin(60^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\).
г) Для \(n = 8\):
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{8 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{8}\right)}{2\pi} = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{2\pi}\).
Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\(\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\).
Ответы для каждого случая совпадают с примером.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.