ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 463 Атанасян — Подробные Ответы

Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см\(^3\)) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м?

Масса трубы \(m\) равна произведению объема свинца \(V\) на плотность свинца \(\rho\), то есть \(m = V \cdot \rho\). Объем свинца в полой трубе может быть найден по формуле \(V = \pi \cdot l \cdot g \cdot (d + g)\), где \(l\) — длина трубы, \(g\) — толщина стенки, а \(d\) — внутренний диаметр. Подставляя заданные значения: \(l = 25\) м \( = 2500\) см, \(g = 4\) мм \( = 0.4\) см, \(d = 13\) мм \( = 1.3\) см, \(\rho = 11.4\) г/см\(^3\), получаем \(m = \pi \cdot 2500 \text{ см} \cdot 0.4 \text{ см} \cdot (1.3 \text{ см} + 0.4 \text{ см}) \cdot 11.4 \text{ г/см}^3\). Вычисляя, находим \(m = \pi \cdot 2500 \cdot 0.4 \cdot 1.7 \cdot 11.4 = 60884\) г. Переводя в килограммы, получаем \(m = 60884 / 1000 = 60.884\) кг. Округляя до двух знаков после запятой, масса трубы составляет \(60.88\) кг.

Дано: свинцовая полая труба, толщина стенки \(g = 4\) мм, внутренний диаметр \(d = 13\) мм, плотность свинца \(\rho = 11.4\) г/см\(^3\), длина трубы \(l = 25\) м.
Найти: массу трубы \(m\).

Решение:
Труба представляет собой полый цилиндр. Масса трубы равна произведению объема материала (свинца) на его плотность. Формула для массы: \(m = V \cdot \rho\).

Объем свинца в трубе можно найти как разность объемов наружного и внутреннего цилиндров. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту (в данном случае, длину трубы): \(V_{цилиндра} = \pi r^2 l\), где \(r\) — радиус, \(l\) — длина.

Внутренний радиус трубы \(r\) равен половине внутреннего диаметра: \(r = d/2\). Наружный радиус \(R\) равен сумме внутреннего радиуса и толщины стенки: \(R = r + g = d/2 + g\).

Объем свинца \(V_{свинца}\) равен объему наружного цилиндра минус объем внутреннего цилиндра: \(V_{свинца} = V_{наружный} — V_{внутренний} = \pi R^2 l — \pi r^2 l\).

Вынесем общий множитель \(\pi l\): \(V_{свинца} = \pi l (R^2 — r^2)\).

Подставим выражения для \(R\) и \(r\) через \(d\) и \(g\): \(V_{свинца} = \pi l \left( \left(\frac{d}{2} + g\right)^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2 \right)\).

Раскроем квадрат разности в скобках: \(\left(\frac{d}{2} + g\right)^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot g + g^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{d^2}{4} + dg + g^2 — \frac{d^2}{4} =\)
\(= dg + g^2\).

Вынесем \(g\) за скобки: \(dg + g^2 = g(d+g)\).

Таким образом, объем свинца равен: \(V_{свинца} = \pi l g (d+g)\).

Теперь подставим это выражение для объема в формулу массы: \(m = \pi l g (d+g) \rho\).

Перед подстановкой численных значений, переведем все единицы измерения в одну систему, например, в сантиметры и граммы.
Толщина стенки \(g = 4\) мм \( = 0.4\) см.
Внутренний диаметр \(d = 13\) мм \( = 1.3\) см.
Длина трубы \(l = 25\) м \( = 2500\) см.
Плотность свинца \(\rho = 11.4\) г/см\(^3\).

Подставим численные значения в формулу массы: \(m = \pi \cdot 2500 \text{ см} \cdot 0.4 \text{ см} \cdot (1.3 \text{ см} + 0.4 \text{ см}) \cdot 11.4 \text{ г/см}^3\).

Вычислим значение в скобках: \(1.3 \text{ см} + 0.4 \text{ см} = 1.7\) см.

Теперь выполним умножение: \(m = \pi \cdot 2500 \cdot 0.4 \cdot 1.7 \cdot 11.4\).
\(m = \pi \cdot 1000 \cdot 1.7 \cdot 11.4\).
\(m = \pi \cdot 1700 \cdot 11.4\).
\(m = \pi \cdot 19380\).
Используя приближенное значение \(\pi \approx 3.14159\), получим \(m \approx 3.14159 \cdot 19380 \approx 60883.9142\) г.

Округлим результат до целых граммов, как в примере: \(m \approx 60884\) г.

Переведем массу из граммов в килограммы, разделив на 1000: \(m = 60884 \text{ г} / 1000 = 60.884\) кг.

Округлим ответ до двух знаков после запятой, как в примере.

Ответ: масса трубы составляет \(60.88\) кг.