Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 459 Атанасян — Подробные Ответы
Пусть \(V\), \(r\) и \(h\) соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) \(V\), если \(r = 2\sqrt{2}\) см, \(h = 3\) см; б) \(r\), если \(V = 120\) см\(^3\), \(h = 3,6\) см; в) \(h\), если \(r = h\), \(V = 8\pi\) см\(^3\).
a) Объем цилиндра находится по формуле \(V = \pi r^2 h\). Подставляя значения \(r = 2\sqrt{2}\) см и \(h = 3\) см, получаем \(V = \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 3 = \pi \cdot 8 \cdot 3 = 24\pi\) см\(^3\).
б) Радиус цилиндра можно найти из формулы объема \(V = \pi r^2 h\), выразив \(r\): \(r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}\). Подставляя значения \(V = 120\) см\(^3\) и \(h = 3,6\) см, получаем \(r = \sqrt{\frac{120}{\pi \cdot 3,6}} = \sqrt{\frac{1200}{36\pi}} = \sqrt{\frac{100}{3\pi}} = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}\) см.
в) Если \(r = h\), формула объема становится \(V = \pi r^2 h = \pi h^2 h = \pi h^3\). Подставляя \(V = 8\pi\) см\(^3\), получаем \(8\pi = \pi h^3\), откуда \(h^3 = 8\), и \(h = \sqrt[3]{8} = 2\) см.
Дано: цилиндр с радиусом основания \(r\), высотой \(h\) и объемом \(V\).
Требуется найти неизвестные величины в трех различных случаях.
а) Найти объем цилиндра \(V\), если радиус основания \(r = 2\sqrt{2}\) см и высота \(h = 3\) см.
Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V = S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания. Основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого равна \(S_{\text{основания}} = \pi r^2\).
Следовательно, формула для объема цилиндра: \(V = \pi r^2 h\).
Подставим данные значения \(r = 2\sqrt{2}\) см и \(h = 3\) см в эту формулу:
\(V = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot 3\).
Сначала возведем радиус в квадрат: \((2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\).
Теперь подставим это значение обратно в формулу объема:
\(V = \pi \cdot 8 \cdot 3 = 24\pi\).
Таким образом, объем цилиндра в первом случае составляет \(24\pi\) см\(^3\).
б) Найти радиус основания цилиндра \(r\), если объем \(V = 120\) см\(^3\) и высота \(h = 3,6\) см.
Используем ту же формулу объема цилиндра: \(V = \pi r^2 h\).
Нам нужно выразить радиус \(r\) из этой формулы. Разделим обе части уравнения на \(\pi h\):
\(r^2 = \frac{V}{\pi h}\).
Чтобы найти \(r\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}\).
Подставим данные значения \(V = 120\) см\(^3\) и \(h = 3,6\) см:
\(r = \sqrt{\frac{120}{\pi \cdot 3,6}}\).
Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:
\(r = \sqrt{\frac{120 \cdot 10}{\pi \cdot 3,6 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{1200}{36\pi}}\).
Сократим дробь под корнем. 1200 и 36 делятся на 12: \(1200 \div 12 = 100\) и \(36 \div 12 = 3\).
\(r = \sqrt{\frac{100}{3\pi}}\).
Извлечем квадратный корень из числителя: \(\sqrt{100} = 10\). Знаменатель оставим под корнем.
\(r = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}\).
Таким образом, радиус основания цилиндра во втором случае составляет \(\frac{10}{\sqrt{3\pi}}\) см.
в) Найти высоту цилиндра \(h\), если объем \(V = 8\pi\) см\(^3\) и радиус основания равен высоте, то есть \(r = h\).
Снова используем формулу объема цилиндра: \(V = \pi r^2 h\).
По условию задачи радиус равен высоте, то есть \(r = h\). Подставим \(r\) вместо \(h\) в формулу объема (или \(h\) вместо \(r\), результат будет тем же):
\(V = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\).
Или, если подставить \(h\) вместо \(r\):
\(V = \pi h^2 \cdot h = \pi h^3\).
Мы получили уравнение для нахождения высоты \(h\): \(V = \pi h^3\).
Нам дан объем \(V = 8\pi\) см\(^3\). Подставим это значение в уравнение:
\(8\pi = \pi h^3\).
Разделим обе части уравнения на \(\pi\):
\(8 = h^3\).
Чтобы найти \(h\), извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
\(h = \sqrt[3]{8}\).
Кубический корень из 8 равен 2, так как \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).
\(h = 2\).
Таким образом, высота цилиндра в третьем случае составляет 2 см.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.