Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 458 Атанасян — Подробные Ответы
Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.
Объем призмы находится по формуле \(V = S_{\text{основания}} \cdot h\). Высота призмы \(h = A_1A\). В прямоугольном треугольнике \(A_1AD_1\), \(A_1A = AD_1 \cos(\angle A_1AD_1)\) и \(A_1D_1 = AD_1 \sin(\angle A_1AD_1)\). Основанием является правильный шестиугольник, площадь которого \(S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\), где \(a\) — сторона шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна \(2a\), следовательно \(A_1D_1 = 2a\), или \(a = \frac{A_1D_1}{2}\). Подставляя это в формулу площади основания, получаем \(S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{A_1D_1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8} A_1D_1^2\). Теперь подставим выражения для \(S_{\text{основания}}\) и \(h\) в формулу объема: \(V = \frac{3\sqrt{3}}{8} A_1D_1^2 \cdot A_1A\). Используя соотношения из прямоугольного треугольника, получаем \(V = \frac{3\sqrt{3}}{8} (AD_1 \sin(\angle A_1AD_1))^2 \cdot (AD_1 \cos(\angle A_1AD_1)) = \)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{8} AD_1^3 \sin^2(\angle A_1AD_1) \cos(\angle A_1AD_1)\).
Подставляя данные значения \(AD_1 = 8\) см и \(\angle A_1AD_1 = 30^\circ\),
имеем \(V = \frac{3\sqrt{3}}{8} (8)^3 \sin^2(30^\circ) \cos(30^\circ) = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot 512 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot\)
\(\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot 512 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 512 \cdot \sqrt{3}}{8 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 512}{64} = \frac{9 \cdot 512}{64} = 9 \cdot 8 = 72\) см³. Ответ: 72 см³.
Дано: правильная призма \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), \(\angle A_1AD_1 = 30^\circ\), \(AD_1 = 8\) см. \(O_1\) — центр верхнего основания.
Найти: Объем призмы \(V_{\text{призмы}}\).
Решение:
Объем призмы находится по формуле \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания призмы, а \(h\) — высота призмы.
В данном случае, основанием является правильный шестиугольник \(ABCDEF\), а высота призмы — длина бокового ребра, например, \(A_1A\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_1AD_1\). В этом треугольнике \(AD_1\) является гипотенузой (равной 8 см), \(A_1A\) является катетом, противолежащим углу между диагональю \(AD_1\) и плоскостью основания (или прилежащим к углу \(\angle A_1AD_1\)), а \(A_1D_1\) является катетом, лежащим в плоскости верхнего основания.
Высота призмы \(h = A_1A\). Из прямоугольного треугольника \(A_1AD_1\), используя определение косинуса, получаем \(A_1A = AD_1 \cos(\angle A_1AD_1)\).
Длина отрезка \(A_1D_1\) также может быть найдена из этого треугольника с использованием синуса: \(A_1D_1 = AD_1 \sin(\angle A_1AD_1)\).
Основание призмы — правильный шестиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\). Отрезок \(A_1D_1\) является наибольшей диагональю этого шестиугольника. Известно, что в правильном шестиугольнике наибольшая диагональ равна удвоенной длине стороны шестиугольника. Пусть сторона правильного шестиугольника равна \(a\). Тогда \(A_1D_1 = 2a\), откуда \(a = \frac{A_1D_1}{2}\).
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) находится по формуле \(S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\).
Подставим выражение для \(a\) через \(A_1D_1\): \(S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{A_1D_1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{A_1D_1^2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} A_1D_1^2\).
Теперь подставим выражения для \(S_{\text{основания}}\) и \(h = A_1A\) в формулу объема призмы:
\(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot A_1A = \left(\frac{3\sqrt{3}}{8} A_1D_1^2\right) \cdot (AD_1 \cos(\angle A_1AD_1))\).
Заменим \(A_1D_1\) на \(AD_1 \sin(\angle A_1AD_1)\):
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} (AD_1 \sin(\angle A_1AD_1))^2 \cdot (AD_1 \cos(\angle A_1AD_1))\)
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} AD_1^2 \sin^2(\angle A_1AD_1) \cdot AD_1 \cos(\angle A_1AD_1)\)
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} AD_1^3 \sin^2(\angle A_1AD_1) \cos(\angle A_1AD_1)\).
Теперь подставим числовые значения: \(AD_1 = 8\) см, \(\angle A_1AD_1 = 30^\circ\).
\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} (8)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot 512 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Выполним умножение:
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 512 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}{8 \cdot 4 \cdot 2}\)
\(V_{\text{призмы}} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 512}{64}\)
\(V_{\text{призмы}} = \frac{9 \cdot 512}{64}\)
\(512 \div 64 = 8\).
\(V_{\text{призмы}} = 9 \cdot 8 = 72\).
Таким образом, объем призмы равен 72 см³.
Ответ: \(V_{\text{призмы}} = 72\) см³.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.