Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 457 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна \(a\).
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot h\). Основание является равносторонним треугольником со стороной \(a\), поэтому его площадь \(S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\). Высота основания \(CH = \frac{\sqrt{3}}{2} a\). В прямоугольном треугольнике \(C_1HC\) высота призмы \(h = C_1C = CH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}\). Таким образом, объем призмы \(V_{\text{призмы}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\). Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\).
Дано: правильная призма \(ABCA_1B_1C_1\), сторона основания \(AB = BC = CA = a\), угол между сечением \(ABC_1\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\). Найти: объем призмы \(V_{\text{призмы}}\).
Объем призмы находится по формуле \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot h\), где \(S_{\text{основания}}\) — площадь основания, а \(h\) — высота призмы.
Основанием правильной призмы является правильный многоугольник. В данном случае, основание — равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a\). Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\). Следовательно, площадь основания \(S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\).
Чтобы найти высоту призмы \(h = C_1C\), рассмотрим сечение \(ABC_1\). Угол между плоскостью сечения \(ABC_1\) и плоскостью основания \(ABC\) равен \(60^\circ\). Линейным углом двугранного угла между плоскостями \(ABC_1\) и \(ABC\) является угол между перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей, проведенными в каждой из плоскостей. Линией пересечения является сторона \(AB\).
Проведем медиану \(CH\) в треугольнике \(ABC\) к стороне \(AB\). Так как треугольник \(ABC\) равносторонний, \(CH\) также является высотой и биссектрисой. \(CH \perp AB\). Длина высоты равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(CH = \frac{\sqrt{3}}{2} a\).
В треугольнике \(ABC_1\), \(C_1H\) является медианой к стороне \(AB\), так как \(H\) — середина \(AB\), а \(C_1A = C_1B\) (как диагонали равных боковых граней \(ACC_1A_1\) и \(BCC_1B_1\), которые являются прямоугольниками с одинаковыми сторонами \(a\) и \(h\)). В равнобедренном треугольнике \(ABC_1\), медиана \(C_1H\) является также высотой, то есть \(C_1H \perp AB\).
Таким образом, угол \(∠C_1HC\) является линейным углом двугранного угла между плоскостями \(ABC_1\) и \(ABC\), и по условию он равен \(60^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(C_1HC\). Катет \(CH = \frac{\sqrt{3}}{2} a\), угол \(∠C_1HC = 60^\circ\), а катет \(C_1C\) является высотой призмы \(h\). В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, \(C_1C = CH \cdot \tan(∠C_1HC)\).
Подставляя значения, получаем \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}\).
Теперь подставим значения площади основания и высоты в формулу объема призмы: \(V_{\text{призмы}} = S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{3a}{2}\).
Выполним умножение: \(V_{\text{призмы}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\).
Таким образом, объем призмы равен \(\frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\).
Ответ: \(V_{\text{призмы}} = \frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.