Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 454 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите объём прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\), если \(AB = BC\), \(\angle ABC = \alpha\), диагональ \(А_1С\) равна \(l\) и составляет с плоскостью основания угол \(\beta\).
Решение:
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V_{призмы} = S_{основания} \cdot h\).
В данном случае основание — треугольник \(ABC\), высота — \(AA_1\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_1AC\). По определению синуса и косинуса:
\(AA_1 = A_1C \sin(\beta) = l \sin(\beta)\)
\(AC = A_1C \cos(\beta) = l \cos(\beta)\)
Треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB=BC\), \(BD\) — высота к основанию \(AC\), также является медианой и биссектрисой угла \(\angle ABC\).
В прямоугольном треугольнике \(ABD\):
\(AD = \frac{AC}{2} = \frac{l \cos(\beta)}{2}\)
\(\angle ABD = \frac{\alpha}{2}\)
По определению котангенса в прямоугольном треугольнике \(ABD\):
\(BD = AD \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l \cos(\beta)}{2} \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)
Площадь основания \(ABC\):
\(S_{основания} = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} (l \cos(\beta)) \left(\frac{l \cos(\beta)}{2} \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{l^2 \cos^2(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4}\)
Объем призмы:
\(V_{призмы} = S_{основания} \cdot AA_1 = \frac{l^2 \cos^2(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4} \cdot l \sin(\beta) = \frac{l^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4}\)
Используя формулу синуса двойного угла \(\sin(2\beta) = 2 \sin(\beta) \cos(\beta)\), преобразуем выражение:
\(V_{призмы} = \frac{l^3}{8} \cdot 2 \cos^2(\beta) \sin(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l^3}{8} \sin(2\beta) \cos(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)
Ответ: \(V_{призмы} = \frac{l^3}{8} \sin(2\beta) \cos(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Для нахождения объема прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) воспользуемся формулой \(V = S_{основания} \cdot h\), где \(S_{основания}\) — площадь основания призмы, а \(h\) — ее высота. В данной прямой призме основанием является треугольник \(ABC\), а высотой — боковое ребро, например, \(AA_1\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_1AC\). Угол между диагональю \(A_1C\) и плоскостью основания \(ABC\) равен углу между \(A_1C\) и ее проекцией на эту плоскость, то есть углу \(\angle ACA_1 = \beta\). В этом прямоугольном треугольнике катет \(AA_1\) является высотой призмы \(h\), а катет \(AC\) — стороной основания.
Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике \(A_1AC\), получаем:
Высота призмы \(h = AA_1 = A_1C \sin(\angle ACA_1) = l \sin(\beta)\).
Сторона основания \(AC = A_1C \cos(\angle ACA_1) = l \cos(\beta)\).
Теперь найдем площадь основания \(ABC\). Треугольник \(ABC\) является равнобедренным, так как \(AB = BC\). Высота \(BD\), проведенная из вершины \(B\) к основанию \(AC\), в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой угла при вершине \(\angle ABC\).
Следовательно, \(D\) — середина \(AC\), и \(\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\alpha}{2}\).
Длина отрезка \(AD\) равна половине длины \(AC\):
\(AD = \frac{AC}{2} = \frac{l \cos(\beta)}{2}\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). В этом треугольнике катет \(BD\) противолежит углу \(\angle BAD\) и прилежит к углу \(\angle ABD\). Используя определение котангенса, можем выразить \(BD\) через \(AD\) и угол \(\angle ABD\):
\(BD = AD \text{ctg}(\angle ABD) = AD \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Подставим значение \(AD\):
\(BD = \frac{l \cos(\beta)}{2} \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Площадь треугольника \(ABC\) может быть найдена как половина произведения основания \(AC\) на высоту \(BD\):
\(S_{основания} = \frac{1}{2} AC \cdot BD\).
Подставим найденные значения \(AC\) и \(BD\):
\(S_{основания} = \frac{1}{2} (l \cos(\beta)) \left(\frac{l \cos(\beta)}{2} \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{l^2 \cos^2(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4}\).
Теперь можем вычислить объем призмы, умножив площадь основания на высоту \(AA_1\):
\(V_{призмы} = S_{основания} \cdot AA_1 = \left(\frac{l^2 \cos^2(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4}\right) \cdot (l \sin(\beta))\).
\(V_{призмы} = \frac{l^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4}\).
Чтобы привести ответ к виду, аналогичному примеру, воспользуемся формулой синуса двойного угла: \(\sin(2\beta) = 2 \sin(\beta) \cos(\beta)\).
Заметим, что в нашем выражении есть \(\cos^2(\beta) \sin(\beta)\). Мы можем выделить множитель \(2 \sin(\beta) \cos(\beta)\) следующим образом:
\(\cos^2(\beta) \sin(\beta) = \cos(\beta) \cdot (\cos(\beta) \sin(\beta))\).
Умножим и разделим на 2:
\(\cos(\beta) \cdot \frac{1}{2} (2 \cos(\beta) \sin(\beta)) = \frac{1}{2} \cos(\beta) \sin(2\beta)\).
Теперь подставим это обратно в формулу для объема:
\(V_{призмы} = \frac{l^3}{4} \left(\frac{1}{2} \sin(2\beta) \cos(\beta)\right) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
\(V_{призмы} = \frac{l^3}{8} \sin(2\beta) \cos(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Таким образом, объем призмы равен \(V_{призмы} = \frac{l^3}{8} \sin(2\beta) \cos(\beta) \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.