Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 449 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) диагональ \(B_1D\) составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол \(A_1B_1BD\) равен 60°. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: \(V = a \cdot b \cdot h\).
В прямоугольном треугольнике \(ABD\) с прямым углом при вершине \(A\), диагональ основания \(BD = 12\) см и угол \(\angle ABD = 60^\circ\). Используя тригонометрические соотношения, находим стороны основания: \(a = AB = BD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см и \(b = AD = BD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см.
В прямоугольном треугольнике \(BDB_1\) с прямым углом при вершине \(B\), диагональ основания \(BD = 12\) см и угол \(\angle BDB_1 = 45^\circ\). Высота параллелепипеда \(h = BB_1 = BD \cdot \tan(45^\circ) = 12 \cdot 1 = 12\) см.
Объем параллелепипеда равен \(V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3}\) см³.
Ответ: Объем параллелепипеда равен \(432\sqrt{3}\) см³.
Дано: прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), диагональ основания \(BD = 12\) см, угол между диагональю параллелепипеда \(B_1D\) и плоскостью основания равен \(\angle BDB_1 = 45^\circ\), двугранный угол между плоскостью \(A_1B_1B\) и плоскостью \(DB_1B\) равен \(\angle A_1B_1BD = 60^\circ\).
Найти: Объем параллелепипеда \(V_{параллелепипеда}\).
Решение:
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \(V = a \cdot b \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — длины сторон основания, а \(h\) — высота параллелепипеда.
Поскольку \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед, основание \(ABCD\) является прямоугольником. Угол между плоскостью \(A_1B_1B\) и плоскостью \(DB_1B\) — это двугранный угол при ребре \(B_1B\). Линейным углом этого двугранного угла является угол \(\angle ABD\), лежащий в плоскости основания и перпендикулярный ребру \(B_1B\) (или \(BB_1\)). Следовательно, \(\angle ABD = 60^\circ\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\) в основании. Угол при вершине \(A\) прямой (\(\angle BAD = 90^\circ\)). Известна гипотенуза \(BD = 12\) см и угол \(\angle ABD = 60^\circ\).
Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем длины сторон основания \(a = AB\) и \(b = AD\).
Сторона \(a = AB\) прилежит к углу \(60^\circ\), поэтому \(a = BD \cdot \cos(\angle ABD) = 12 \cdot \cos(60^\circ)\).
Значение \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), следовательно, \(a = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см.
Сторона \(b = AD\) противолежит углу \(60^\circ\), поэтому \(b = BD \cdot \sin(\angle ABD) = 12 \cdot \sin(60^\circ)\).
Значение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(b = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см.
Теперь найдем высоту параллелепипеда \(h = BB_1\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BDB_1\). Угол при вершине \(B\) прямой (\(\angle B_1BD = 90^\circ\)) так как \(BB_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а \(BD\) лежит в этой плоскости. Известна сторона \(BD = 12\) см и угол \(\angle BDB_1 = 45^\circ\).
Высота \(h = BB_1\) противолежит углу \(45^\circ\), а сторона \(BD\) прилежит к этому углу. Используем тангенс угла: \(h = BD \cdot \tan(\angle BDB_1) = 12 \cdot \tan(45^\circ)\).
Значение \(\tan(45^\circ) = 1\), следовательно, \(h = 12 \cdot 1 = 12\) см.
Теперь, зная измерения параллелепипеда: \(a = 6\) см, \(b = 6\sqrt{3}\) см, \(h = 12\) см, вычислим его объем.
\(V_{параллелепипеда} = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot 12\).
Произведем умножение: \(V_{параллелепипеда} = 6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 36 \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 432\sqrt{3}\) см³.
Ответ: Объем параллелепипеда равен \(432\sqrt{3}\) см³.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.