Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Исследовательские задачи Номер 5 Атанасян — Подробные Ответы
Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 12 точек, через которые проходит сфера Эйлера
В правильном тетраэдре центроиды и ортоцентры каждой из граней совпадают, значит имеется всего \(8\) несовпадающих точек для сферы Эйлера. Если три ребра при одной грани равны друг другу, а три другие ребра также равны друг другу, но не равны первым трем ребрам, этот тетраэдр будет ортоцентрическим, и одна грань имеет \(1\) точку, а три грани имеют \(2\) точки Эйлера, то есть всего есть \(11\) точек. Если все ребра тетраэдра равны, то он будет правильным, и в этом случае будет \(12\) точек Эйлера.
Ответ: может быть 8, 11 или 12 точек.
Хорошо, давайте разберем этот вопрос подробно.
Согласно условию, четыре из двенадцати точек сферы Эйлера делят отрезок, соединяющий вершину и ортоцентр, в отношении 2:1. Еще четыре точки являются центроидами граней, а оставшиеся четыре — ортоцентрами граней.
В случае правильного тетраэдра, центроиды и ортоцентры каждой из граней совпадают. Таким образом, для правильного тетраэдра имеется всего \(8\) несовпадающих точек на сфере Эйлера.
Если один из ребер тетраэдра отличается от других, то одна грань будет иметь \(1\) точку Эйлера, а три другие грани — по \(2\) точки Эйлера. Следовательно, всего будет \(11\) точек на сфере Эйлера.
Если же все ребра тетраэдра различны, то каждая грань будет иметь по \(2\) точки Эйлера, и, соответственно, всего будет \(12\) точек на сфере Эйлера.
Таким образом, ответ может быть \(8\), \(11\) или \(12\) точек в зависимости от соотношения ребер тетраэдра.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.