Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Исследовательские задачи Номер 5 Атанасян — Подробные Ответы
Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 12 точек, через которые проходит сфера Эйлера
В правильном тетраэдре центроиды и ортоцентры каждой из граней совпадают, значит имеется всего \(8\) несовпадающих точек для сферы Эйлера. Если три ребра при одной грани равны друг другу, а три другие ребра также равны друг другу, но не равны первым трем ребрам, этот тетраэдр будет ортоцентрическим, и одна грань имеет \(1\) точку, а три грани имеют \(2\) точки Эйлера, то есть всего есть \(11\) точек. Если все ребра тетраэдра равны, то он будет правильным, и в этом случае будет \(12\) точек Эйлера.
Ответ: может быть 8, 11 или 12 точек.
Хорошо, давайте разберем этот вопрос подробно.
Согласно условию, четыре из двенадцати точек сферы Эйлера делят отрезок, соединяющий вершину и ортоцентр, в отношении 2:1. Еще четыре точки являются центроидами граней, а оставшиеся четыре — ортоцентрами граней.
В случае правильного тетраэдра, центроиды и ортоцентры каждой из граней совпадают. Таким образом, для правильного тетраэдра имеется всего \(8\) несовпадающих точек на сфере Эйлера.
Если один из ребер тетраэдра отличается от других, то одна грань будет иметь \(1\) точку Эйлера, а три другие грани — по \(2\) точки Эйлера. Следовательно, всего будет \(11\) точек на сфере Эйлера.
Если же все ребра тетраэдра различны, то каждая грань будет иметь по \(2\) точки Эйлера, и, соответственно, всего будет \(12\) точек на сфере Эйлера.
Таким образом, ответ может быть \(8\), \(11\) или \(12\) точек в зависимости от соотношения ребер тетраэдра.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.