Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Ответы на вопросы к главе II Атанасян — Подробные Ответы
1. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
2. Параллельные прямые \(b\) и \(c\) лежат в плоскости \(\alpha\), а прямая \(a\) перпендикулярна к прямой \(b\). Верно ли утверждение:
а) прямая \(a\) перпендикулярна к прямой \(c\);
б) прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\)?
3. Прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые \(a\) и \(b\) быть параллельными?
4. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые \(a\) и \(b\) взаимно перпендикулярны?
5. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым \(a\) и \(b\)?
6. Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть:
а) параллельными плоскостями;
б) перпендикулярными плоскостями?
8. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?
9. Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?
10. Сколько двугранных углов имеет:
а) тетраэдр;
б) параллелепипед?
1. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не обязательно параллельны, если не лежат в одной плоскости. Если все три прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны.
2. а) Прямая \(a\) перпендикулярна к прямой \(c\), так как \(b \parallel c\) и \(a \perp b\).
б) Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\), так как она перпендикулярна \(b\), лежащей в \(\alpha\).
3. Прямые \(a\) и \(b\) не могут быть параллельными, так как \(a \perp \alpha\), а \(b\) не перпендикулярна \(\alpha\).
4. Прямые \(a\) и \(b\) не взаимно перпендикулярны, так как \(a \parallel \alpha\), а \(b \perp \alpha\).
5. Существует прямая, перпендикулярная к прямым \(a\) и \(b\), она будет перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
6. Утверждение неверно, так как прямые, перпендикулярные к плоскости, могут пересекать данную прямую в разных плоскостях.
7. а) Две плоскости, перпендикулярные к третьей, могут быть параллельными.
б) Две плоскости, перпендикулярные к третьей, не могут быть перпендикулярными друг другу.
8. Через точку пространства можно провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны.
9. Другая диагональ квадрата будет также перпендикулярна к данной плоскости.
10. а) Тетраэдр имеет 6 двугранных углов.
б) Параллелепипед имеет 12 двугранных углов.
1. Если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то они не обязательно параллельны. Рассмотрим случай, когда прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны к прямой \(c\). Если \(a\) и \(b\) не лежат в одной плоскости, то они могут быть скрещивающимися. Например, если \(c\) является вертикальной прямой, то \(a\) и \(b\) могут быть горизонтальными прямыми, расположенными на разных уровнях. Если же \(a\), \(b\) и \(c\) лежат в одной плоскости, то \(a\) и \(b\) будут параллельны, так как две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой в плоскости, обязательно параллельны.
2. Если прямые \(b\) и \(c\) параллельны и лежат в плоскости \(\alpha\), а прямая \(a\) перпендикулярна к \(b\), то она также будет перпендикулярна к \(c\). Это следует из свойства параллельных прямых: если одна прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. Прямая \(a\) обязательно пересекает плоскость \(\alpha\), так как она перпендикулярна к прямой \(b\), которая лежит в этой плоскости, а пересечение прямой, не параллельной плоскости, с плоскостью обязательно.
3. Если прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) не перпендикулярна к этой плоскости, то \(a\) и \(b\) не могут быть параллельными. Прямая \(a\) направлена строго перпендикулярно к плоскости \(\alpha\), а \(b\) имеет наклон относительно этой плоскости, что исключает возможность их параллельности.
4. Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости, то \(a\) и \(b\) не обязательно взаимно перпендикулярны. Прямая \(a\) может быть направлена в любом направлении, параллельном \(\alpha\), и не обязана пересекаться с \(b\), чтобы образовать прямой угол.
5. Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости, то существует прямая, перпендикулярная к обеим. Такая прямая будет перпендикулярна к \(\alpha\), совпадая с направлением нормали к плоскости.
6. Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, не обязательно лежат в одной плоскости. Если прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\), то множество прямых, перпендикулярных к \(\alpha\) и проходящих через точки пересечения \(a\) с \(\alpha\), образует пучок прямых в пространстве, а не одну плоскость.
7. Две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть параллельными. Это происходит, если их нормали направлены одинаково и они не пересекаются. Однако две такие плоскости не могут быть перпендикулярными друг другу, так как их нормали обе перпендикулярны к нормали третьей плоскости, а значит, лежат в одной плоскости.
8. Через точку пространства можно провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны. Это возможно, если нормали этих плоскостей направлены вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей координат.
9. Если диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости, то другая диагональ квадрата также будет перпендикулярна к этой плоскости. Это следует из симметрии квадрата, так как диагонали квадрата равны по длине и пересекаются под прямым углом.
10. Тетраэдр имеет 6 двугранных углов, так как каждая из его 4 граней образует двугранные углы с тремя другими гранями. Параллелепипед имеет 12 двугранных углов, так как каждая из его 6 граней образует двугранные углы с четырьмя соседними гранями.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.