ГДЗ по Геометрии 10 класс Ответы на вопросы к главе 4 Атанасян — Подробные Ответы

1 Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?
2 Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?
3 На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?
4 Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус её основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?
5 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?
6 Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?
7 Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?
8 Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и \(2\sqrt{2}\) см лежать на сфере радиуса \(\sqrt{5}\) см?
9 Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?
10 Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?
Дополнительные задачи

1 Угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра, равен 90 градусам, так как образующая перпендикулярна плоскости основания. Ответ: 90 градусов.

2 Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник. Ответ: Прямоугольник.

3 На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Кратчайшее расстояние между точками этих хорд может быть: а) равным высоте цилиндра, если точки лежат на одной образующей; б) больше высоты цилиндра, если точки не лежат на одной образующей, расстояние равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами, равными высоте цилиндра и расстоянию между проекциями точек на одно основание; в) меньше высоты цилиндра быть не может, так как кратчайшее расстояние между точками на параллельных плоскостях равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте цилиндра. Ответ: а) да, б) да, в) нет.

4 Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали \(h_1 = 2h\), радиус \(r_1 = r\). Высота второй детали \(h_2 = h\), радиус \(r_2 = 2r\). Площадь поверхности первой детали \(S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2 = 2\pi r (2h) + 2\pi r^2 = 4\pi rh + 2\pi r^2\). Площадь поверхности второй детали \(S_2 = 2\pi r_2 h_2 + 2\pi r_2^2 = 2\pi (2r) h + 2\pi (2r)^2 = 4\pi rh + 8\pi r^2\). Так как \(S_2 > S_1\), больше никеля расходуется на вторую деталь. Ответ: На вторую деталь.

5 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью? Углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания равны между собой; б) его осью равны между собой. Углы между образующей и плоскостью основания и между образующей и осью в сумме дают 90 градусов (в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей), поэтому они не равны друг другу, если конус не вырожденный. Ответ: а) да, б) да, равны ли друг другу — нет.

6 Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой две пересекающиеся прямые (образующие конуса) или одну прямую (если плоскость касается конуса по образующей) или только вершину. Ответ: Две пересекающиеся прямые.

7 Точки А и В принадлежат шару. Любая точка отрезка АВ принадлежит этому шару, так как шар является выпуклым телом. Ответ: Да.

8 Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и \(2\sqrt{2}\) см лежать на сфере радиуса \(\sqrt{5}\) см? Гипотенуза треугольника равна \(\sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\) см. Если вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере, то гипотенуза является диаметром сферы. Диаметр сферы равен \(2R = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}\) см. Так как \(2\sqrt{6} \neq 2\sqrt{5}\), вершины треугольника не могут лежать на данной сфере. Ответ: Нет.

9 Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость? Нет, так как касательная плоскость к сфере находится на расстоянии от центра, равном радиусу сферы. Если радиусы неравны, то и расстояния до касательных плоскостей будут неравны, следовательно, плоскости не могут совпадать. Ответ: Нет.

10 Множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом, представляет собой сферу, построенную на данном отрезке как на диаметре, за исключением концов отрезка. Ответ: Сфера с диаметром, равным данному отрезку (без концов отрезка).

1 Угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра, равен 90 градусам. Объяснение: Образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основания по определению. Плоскость, проходящая через образующую, содержит эту образующую. Если прямая перпендикулярна плоскости, то любая плоскость, содержащая эту прямую, перпендикулярна данной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через образующую, перпендикулярна плоскости основания цилиндра. Угол между перпендикулярными плоскостями равен 90 градусам. Ответ: 90 градусов.

2 Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник. Объяснение: Плоскость, параллельная образующей цилиндра, пересекает боковую поверхность цилиндра по двум параллельным прямым, каждая из которых является частью образующей. Если плоскость пересекает основания цилиндра, линии пересечения с основаниями будут отрезками, перпендикулярными этим образующим. Таким образом, фигура сечения будет иметь две пары параллельных сторон, перпендикулярных друг другу, что определяет прямоугольник. Если плоскость касается цилиндра, сечением будет отрезок образующей. В общем случае, при пересечении, это прямоугольник. Ответ: Прямоугольник.

3 На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра? Объяснение: Пусть хорды лежат на основаниях \(B_1\) и \(B_2\), а высота цилиндра равна \(h\). Рассмотрим произвольные точки \(P_1\) на одной хорде и \(P_2\) на другой. Расстояние между \(P_1\) и \(P_2\) можно найти, спроецировав \(P_2\) на плоскость основания \(B_1\). Пусть \(P_2’\) — проекция \(P_2\). Тогда \(P_2 P_2′ = h\). Расстояние \(P_1 P_2\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(P_1 P_2’\) и \(h\). Таким образом, \(P_1 P_2 = \sqrt{(P_1 P_2′)^2 + h^2}\). а) Расстояние может быть равно высоте цилиндра \(h\), если \(P_1 P_2′ = 0\). Это возможно, если точка \(P_1\) совпадает с проекцией \(P_2\) на плоскость основания \(B_1\). Это происходит, если \(P_1\) и \(P_2\) лежат на одной образующей. б) Расстояние может быть больше высоты цилиндра \(h\), если \(P_1 P_2′ > 0\). Поскольку хорды не параллельны, существует положительное минимальное расстояние между точками этих хорд в плоскости основания (или их проекций). В этом случае \(\sqrt{(P_1 P_2′)^2 + h^2} > \sqrt{0^2 + h^2} = h\). в) Расстояние не может быть меньше высоты цилиндра \(h\), так как кратчайшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на двух параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями, то есть высоте цилиндра. Ответ: а) да, б) да, в) нет.

4 Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус её основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля? Объяснение: Количество расходуемого никеля пропорционально площади поверхности детали. Площадь полной поверхности цилиндра равна \(S = 2\pi r h + 2\pi r^2\), где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота. Для первой детали: высота \(h_1 = 2h\), радиус \(r_1 = r\). Площадь поверхности первой детали \(S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2 = 2\pi r (2h) + 2\pi r^2 = 4\pi rh + 2\pi r^2\). Для второй детали: высота \(h_2 = h\), радиус \(r_2 = 2r\). Площадь поверхности второй детали \(S_2 = 2\pi r_2 h_2 + 2\pi r_2^2 = 2\pi (2r) h + 2\pi (2r)^2 = 4\pi rh + 2\pi (4r^2) = 4\pi rh + 8\pi r^2\). Сравнивая площади, видим, что \(S_2 = 4\pi rh + 8\pi r^2\) и \(S_1 = 4\pi rh + 2\pi r^2\). Поскольку \(8\pi r^2 > 2\pi r^2\) (для \(r > 0\)), \(S_2 > S_1\). Следовательно, на вторую деталь расходуется больше никеля. Ответ: На вторую деталь.

5 Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью? Объяснение: Рассмотрим прямой круговой конус. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей и ее проекцией на плоскость основания (радиусом). Угол между образующей и осью — это угол между образующей и высотой конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, эти два угла являются острыми углами. Сумма этих углов равна 90 градусам. а) Углы между различными образующими и плоскостью основания равны между собой для прямого кругового конуса. б) Углы между различными образующими и осью равны между собой для прямого кругового конуса. Равны ли угол из пункта а) и угол из пункта б) друг другу? Только в случае, когда оба угла равны 45 градусам, что соответствует случаю, когда радиус основания равен высоте конуса. В общем случае они не равны. Ответ: а) да, б) да, равны ли друг другу — нет.

6 Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину? Объяснение: Плоскость, проходящая через вершину конуса, может пересекать конус по-разному. Если плоскость проходит через ось конуса, сечением являются две образующие, лежащие на одной прямой (осевое сечение). Если плоскость проходит через вершину, но не через ось, и пересекает конус, она пересекает боковую поверхность по двум образующим. Эти образующие лежат в одной плоскости и пересекаются в вершине конуса. Если плоскость касается конуса по образующей, сечением является эта образующая. Если плоскость пересекает только вершину, сечением является точка. В наиболее общем случае, когда плоскость проходит через вершину и пересекает конус, сечением являются две пересекающиеся прямые (образующие). Ответ: Две пересекающиеся прямые.

7 Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ? Объяснение: Шар является выпуклым телом. По определению выпуклого множества, если две точки принадлежат множеству, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит этому множеству. Поскольку точки А и В принадлежат шару, который является выпуклым, любая точка отрезка АВ также принадлежит этому шару. Ответ: Да.

8 Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и \(2\sqrt{2}\) см лежать на сфере радиуса \(\sqrt{5}\) см? Объяснение: Если вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере, то гипотенуза этого треугольника является диаметром сферы. Найдем длину гипотенузы \(c\) по теореме Пифагора: \(c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 + 8 = 24\). Следовательно, \(c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\) см. Диаметр сферы равен удвоенному радиусу: \(D = 2R = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}\) см. Для того чтобы вершины треугольника лежали на сфере, гипотенуза должна быть равна диаметру сферы. Сравниваем \(2\sqrt{6}\) и \(2\sqrt{5}\). Поскольку \(\sqrt{6} \neq \sqrt{5}\), \(2\sqrt{6} \neq 2\sqrt{5}\). Таким образом, гипотенуза треугольника не равна диаметру сферы, и вершины треугольника не могут лежать на данной сфере. Ответ: Нет.

9 Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость? Объяснение: Касательная плоскость к сфере находится на расстоянии от центра сферы, равном радиусу этой сферы. Пусть у двух сфер общий центр \(O\) и радиусы \(R_1\) и \(R_2\), причем \(R_1 \neq R_2\). Предположим, существует общая касательная плоскость \(P\). Тогда расстояние от центра \(O\) до плоскости \(P\) должно быть равно \(R_1\) (для первой сферы) и одновременно равно \(R_2\) (для второй сферы). Это возможно только в случае, если \(R_1 = R_2\), что противоречит условию \(R_1 \neq R_2\). Следовательно, две сферы с общим центром и неравными радиусами не могут иметь общую касательную плоскость. Ответ: Нет.

10 Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом? Объяснение: Рассмотрим отрезок АВ. Множество точек \(P\) в пространстве, таких что угол \(\angle APB = 90^\circ\), является геометрическим местом вершин прямых углов, опирающихся на отрезок АВ как на гипотенузу. В геометрии известно, что такое множество представляет собой сферу, построенную на отрезке АВ как на диаметре. Для любой точки \(P\) на этой сфере (кроме точек А и В), угол \(\angle APB\) будет прямым. Сами точки А и В не включаются в это множество, так как из них отрезок не виден под прямым углом в обычном смысле. Ответ: Сфера с диаметром, равным данному отрезку (без концов отрезка).