Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Ответы на вопросы глава 3 Атанасян — Подробные Ответы
1. Какое наименьшее число рёбер может иметь многогранник?
2. Призма имеет \(n\) граней. Какой многоугольник лежит в её основании?
3. Является ли призма прямой, если две её смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
4. В какой призме боковые рёбра параллельны её высоте?
5. Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?
6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
7. Существует ли призма, у которой:
а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания;
б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?
8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
9. Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?
10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
11. Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
12. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
13. Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?
14. На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противоположную ей сторону нижнего основания?
1. Тетраэдр: 4 вершины, 6 рёбер.
2. Призма: основание — (n-2)-угольник (или n-угольник, если считать только боковые грани).
3. Да, если боковое ребро перпендикулярно основанию.
4. Прямая призма (из ответа 3).
5. Нет, пример — ромбоид.
6. Только если грань перпендикулярна основаниям.
7.
— а) Да, если ребро перпендикулярно одному из рёбер основания.
— б) Нет, тогда грань перпендикулярна основанию.
8. 3:5 (периметры частей треугольника).
9. Да, по равенству сторон и углов.
10. Две грани перпендикулярны основанию.
11. Нет, нельзя провести два перпендикуляра через вершину.
12. Да, пример: пирамида из прямоугольных треугольников.
13. Невозможно, т.к. 6.5 см меньше длины рёбер.
14. Две пирамиды: треугольная и четырёхугольная.
Вопрос 1. Наименьшее число вершин, не лежащих в одной плоскости — 4. Число ребер — \(C_4^2 = 6\). \(4! / (2! \cdot 2!) = 6\) ребер — это тетраэдр.
Вопрос 2. Призма имеет \(n\) граней, две из них являются основаниями — боковых граней \(n — 2\), в основании \(n — 2\)-угольник. В некоторых учебниках под гранями понимают только боковые грани, а две, лежащие в параллельных плоскостях, считают основаниями. В этом случае ответ: \(n\)-угольник. Но первый ответ считается более правильным.
Вопрос 3. Да, в этом случае боковое ребро перпендикулярно основанию призмы.
Вопрос 4. В прямой призме (предыдущий вопрос).
Вопрос 5. Нет, это необходимое условие, но не достаточное условие. Ромбоид.
Вопрос 6. Только в том случае, если эта грань перпендикулярна основаниям.
Вопрос 7. а) Да, это наклонная призма, у которой боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания, но при этом перпендикулярно одному из ребер основания. б) Нет, в этом случае боковое ребро перпендикулярно основанию и, следовательно, соседняя грань перпендикулярна основанию.
Вопрос 8. Решение задачи сводится к определению соотношений периметров двух плоских фигур, на которые равносторонний треугольник разбивает средняя линия. Если сторона треугольника \(a\), то периметр треугольника будет \(3a/2\), а периметр трапеции \(5a/2\). Ответ \(3:5\).
Вопрос 9. Да. Боковые ребра будут равны по построению (углы и стороны разносторонних треугольников равны), а ребра основания — как равные стороны равных треугольников.
Вопрос 10. Две. Грань перпендикулярна основанию, следовательно, и ребро перпендикулярно основанию, значит смежная по перпендикулярному ребру грань тоже перпендикулярна основанию. Больше граней быть не может, так как в этом случае существовало бы второе ребро пирамиды, перпендикулярное к основанию и проходящее через вершину пирамиды, а это невозможно.
Вопрос 11. Нет. Обоснование дано в ответе на вопрос 10. Невозможно провести через вершину пирамиды два перпендикуляра к одной плоскости основания.
Вопрос 12. Да. Пример. Четыре прямоугольных треугольника, образующих пирамиду: \((3,4,5)\), \((3,4,5)\), \((4,5,\sqrt{41})\) и \((4,5,\sqrt{41})\).
Вопрос 13. На каждое боковое ребро остается \((66 — 40)/4 = 6,5\) см проволоки. Но длина боковых ребер больше длины их проекций, следовательно, больше суммы диагоналей квадрата, каждая из которых больше 14.
Вопрос 14. Две пирамиды с вершиной в точке сечения. Пирамида 1: треугольная, основание — основание призмы. Пирамида 2: четырехугольная, основание — боковая грань призмы, содержащая сторону, по которой проведено сечение.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.