ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 99 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Пусть прямая \(a\) параллельна плоскости \(o\). Через произвольную точку \(M\) на прямой \(a\) проходит единственная плоскость \(B\), параллельная плоскости \(o\). Так как прямая \(a\) параллельна плоскости \(o\), она целиком лежит в плоскости \(B\). Следовательно, существует единственная плоскость, проходящая через прямую \(a\) и параллельная плоскости \(o\).

Для доказательства того, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки, рассмотрим следующие рассуждения:

Пусть даны три параллельные плоскости \(a\), \(b\) и \(c\), и две пересекающие их прямые \(d\) и \(e\). Прямая \(d\) пересекает плоскости \(a\), \(b\) и \(c\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, а прямая \(e\) пересекает те же плоскости в точках \(A’\), \(B’\) и \(C’\) соответственно.

Так как плоскости \(a\), \(b\) и \(c\) параллельны, то отрезки \(AB\), \(BC\) и \(AC\) на прямой \(d\) пропорциональны отрезкам \(A’B’\), \(B’C’\) и \(A’C’\) на прямой \(e\) соответственно. Это следует из теоремы Фалеса:

\[\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\]

Таким образом, мы доказали, что три параллельные плоскости \(a\), \(b\) и \(c\) отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых \(d\) и \(e\) пропорциональные отрезки.